Indice

LEZIONE 3 (IN ATTESA DI REVISIONE)

Riassunto lezione precedente

Nella precedente lezione è stata definita la matrice N, costituita dalle tre funzioni di forma N1, N2 e N3, con la quale è stato possibile legare lo spostamento lungo X ed Y di un generico punto interno all’elemento triangolare agli spostamenti nodali dello stesso.

$$ \begin{bmatrix} u(x,y))\\ v(x,y)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0 \\ 0 & N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \end{bmatrix} $$

Che nel caso tridimensionale diventa:

$$ \begin{bmatrix} u(x,y))\\ v(x,y))\\ w(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & 0 & N_2(x,y) & 0 & 0 & N_3(x,y) & 0 & 0 \\ 0 & N_1(x,y) & 0 & 0 & N_2(x,y) & 0 & 0 & N_3(x,y)& 0 \\ 0 & 0 & N_1(x,y)& 0 & 0 & N_2(x,y)& 0 & 0 & N_3(x,y) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ v_1 \\ w_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ w_2 \\ u_3 \\ v_3 \\ w_3 \end{bmatrix} $$

Con ω spostamento lungo l’asse Z.

Nota: è possibile considerare ulteriori gradi di libertà oltre agli spostamenti nodali, inserendo righe nel vettore δ e lo stesso numero di colonne nella matrice N.
$$ \begin{bmatrix} u(x,y))\\ v(x,y)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0 & U_3\\ 0 & N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & V_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \\ \xi \end{bmatrix} $$

Introduzione

Consideriamo ancora l’equilibrio dell’elemento triangolare tre nodi:



L’elemento triangolare può essere soggetto a carichi di diversa natura:

Equilibrio del sistema

Ipotizziamo che il nostro sistema abbia comportamento lineare, ossia valgano le seguenti condizioni:





$ \delta = \delta P + \delta Q $

Sotto queste ipotesi è possibile applicare il Teorema dei Lavori Virtuali. Definiamo un vettore degli spostamenti virtuali δu con $$ \delta _\underline{u} = \begin{bmatrix} \delta u_1 \\ \delta v_1 \\ \delta u_2 \\ \delta v_2 \\ \delta u_3 \\ \delta v_3 \end{bmatrix} $$
Se il sistema è in equilibrio, per ogni δu, la somma dell’energia potenziale dovuta ai carichi e dell’energia potenziale elastica del sistema è nulla.

$ \delta U_f + \delta U_e = 0 $

Oppure, considerando al posto dell’energia potenziale il lavoro svolto dai carichi:

$ \delta W_f = -\delta U_f $

Energia potenziale elastica

Nel caso tridimensionale l’energia potenziale elastica assume la seguente forma:

$$ U = \frac{1}{2} \int_{V} \begin{bmatrix} \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy} & \tau_{xz} & \tau_{yz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \varepsilon_z \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{yz} \end{bmatrix} dV $$

Che può essere ridotta, nel caso bidimensionale di Tensione Piana e Deformazione Piana, alla forma seguente:

$$ U = \frac{1}{2} \int_{V} \begin{bmatrix} \sigma_x & \sigma_y & \tau_{xy} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} dV $$

La relazione esistente tra spostamenti virtuali e deformazioni virtuali, da essi indotte, può essere scritta come:

$ \delta \underline{u} \rightarrow \delta \underline{\varepsilon} = \underline{\underline{B}} \ \delta \underline{u} $

Dove $ \underline{\underline{L}} \ \underline{\underline{N}} = \underline{\underline{B}} $

e $$ \underline{\underline{L}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} $$

Possiamo dunque definire la variazione di energia potenziale elastica:

$ \delta U = \int_{V} \underline{\sigma}^T \delta \underline{\varepsilon} \ dV $

Con $$ \underline{\sigma}^T = \begin{bmatrix} \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy} & \tau_{xz} & \tau_{yz} \end{bmatrix} $$ e $$ \delta \underline{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \delta \varepsilon_x \\ \delta \varepsilon_y \\ \delta \varepsilon_z \\ \delta \gamma_{xy} \\ \delta \gamma_{xz} \\ \delta \gamma_{yz} \end{bmatrix} $$

Lavoro dei carichi esterni

$ \delta W_p = P_{x1} \delta u_1 + P_{y1} \delta v_1 + P_{x2} \delta u_2 + P_{y2} \delta v_2 + P_{x3} \delta u_3 + P_{y3}\delta v_3 = \underline{P}^T \delta\underline{u} $

con $$ \underline{P}^T = \begin{bmatrix} P_{x1} & P_{y1} & P_{x2} & P_{y2} & P_{x3} & P_{y3} \end{bmatrix} $$

Dove Px e Py sono le componenti dei carichi nodali e δu e δv gli spostamenti virtuali nodali.

$ \delta W_s = \int_{sup} (S_x \delta u(x,y) + S_y\delta v(x,y))dS $=
$$ =\ \int_{sup} \begin{bmatrix} S_x(x,y) & S_y(x,y) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \delta u(x,y)\\ \delta v(x,y) \end{bmatrix} dS $$ = $ \ \int_{sup} \underline{S}^T(x,y) \underline{\underline{N}}(x,y)\delta\underline{u}dS $=$ \delta W_s = \delta\underline{u}\int_{sup} \underline{S}^T(x,y) \underline{\underline{N}}(x,y)dS $=$ \delta W_s = \underline{F}^T_s \delta\underline{u} $

In cui FsT sta ad indicare un vettore di forze ai nodi “energeticamente” equivalenti alle forze di superficie agenti sull’elemento. Tramite questo espediente, infatti, si è riuscito a “tradurre” dei carichi superficiali in carichi/forze ai nodi, rendendo il tutto di più facile lettura e facilitando così le successive operazioni.
Per chiarire le idee, supponiamo di avere un lato (lato 23) del nostro elemento triangolare soggetto ad un carico distribuito (di superficie) costante che scomponiamo nelle due componenti Sx ed Sy lungo gli assi. Il lato ha lunghezza l e l’elemento ha spessore t. Si può notare, andando a graficare l’andamento delle funzioni di forma N1, N2 e N3 esclusivamente per il suddetto lato, che, come noto, N2 cresce linearmente dal vertice 3 al vertice 2: essa infatti è nulla in 3 ed unitaria in 2; lo stesso per N3: in 2 assume valore nullo mentre in 3 ha valore pari ad uno. Notare inoltre che N1 è identicamente nulla per ogni punto del lato 23 ( N ha comportamento rettilineo lineare ed essendo N1 nulla sia in 2 che in 3, deve per forza essere nulla anche nei punti compresi).



Andiamo ora a determinare il vettore FsT nella pratica:

$$ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} \begin{bmatrix} S_x(x,y) & S_y(x,y) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0 \\ 0 & N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) \end{bmatrix}dS_\bar{23} $$

Si può immediatamente notare che si tratta di un vettore di sei elementi, dato che deriva dal prodotto matriciale tra ST che è una 1×2 ed N che è una 2×6: il primo elemento rappresenta la componente del carico al nodo 1 equivalente (al carico di superficie), in direzione X; il secondo la componente del carico al nodo 1 equivalente, in direzione Y; il terzo la componente del carico al nodo 2 equivalente, in direzione X e così via per gli altri tre elementi di FsT, fino al nodo 3. Il tutto si può facilmente osservare andando a determinare analiticamente, elemento per elemento, il vettore FsT.

Elemento 1: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_xN_1 + S_y0)dS_\bar{23} $

Elemento 2: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_x0 + S_yN_1)dS_\bar{23} $

Elemento 3: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_xN_2 + S_y0)dS_\bar{23} $ cioè $\underline{F}_s = S_x \int_{sup.\bar{23}} N_2 dS_\bar{23}$

Andando a sostituire l’integrale di N2 sulla superficie con la media integrale di N2 sul lato 23 che vale un mezzo e considerando dsup = t·l otteniamo:

$ \underline{F}_s = \frac{l}{2}tS_x $

Seguendo lo stesso procedimento e facendo le stesse ipotesi si ottengono in maniera analoga gli elementi 4, 5 e 6 del vettore FsT. In parole povere possiamo dire che un nodo si prende metà del carico distribuito (sotto forma di carico nodale) mentre l’altro si prende l’altra metà del carico, a lui più vicino.







Prendiamo ora come esempio un carico superficiale distribuito in maniera non uniforme (ad esempio una tipica distribuzione a farfalla dovuta a sollecitazione flettente): per note proprietà geometriche le risultanti dei carichi, aventi modulo pari a P·l/2·t·1/2, si troveranno a 2·l/3 dal punto in cui il carico risulta nullo, come può notarsi dalla figura:



L’equivalenza nodale nel caso di carichi superficiali non uniformi non vale: infatti, osservando la figura, si vede che “traducendo” il carico distribuito in carico nodale, si incorre in una parziale sovrastima dei momenti, andando con questa operazione a variare i bracci delle risultanti.

$\delta W_{vol} = \int_{Vol.} (q_x(x,y) \delta u(x,y)+q_y(x,y) \delta v(x,y))dV$=
$$\ \int_{Vol.} \begin{bmatrix} q_x(x,y) & q_y(x,y) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \delta u \\ \delta v \end{bmatrix}dV$$

In maniera analoga al caso superficiale precedente, considerando il vettore degli spostamenti infinitesimi come prodotto tra la matrice N ed il vettore δu e portando fuori quest’ultimo dall’operatore integrale (essendo un vettore costante), otteniamo rispettivamente:

$$\delta W_{vol} = \int_{Vol.} (\begin{bmatrix} q_x(x,y) & q_y(x,y) \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}(x,y) \delta \underline{u})dV$$ = $$\ \delta \underline{u} \int_{Vol.} (\begin{bmatrix} q_x(x,y) & q_y (x,y) \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}(x,y) )dV$$

=$ \ \underline{F}^T_v \delta\underline{u} $

Otterremmo dunque un vettore FvolT anch’esso di sei elementi.
Per esempio: