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Energia potenziale elastica della trave curva piana

Formula per l'energia interna di una trave curva nel piano. Lo sforzo normale $N$ è supposto positivo se trattivo, il momento flettente $M_f$ è supposto positivo se tende le fibre all'intradosso (ossia se tende a raddrizzare la trave); nel caso questa seconda convenzione non sia rispettata occorre variare il segno del termine misto $M_f N$.

$$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{0}^{\Phi} \left( \frac{M_{f}^2 }{2 E A \delta r_g} + \frac{N ^2}{2 E A} +\xi \frac{T ^2}{2 G A} - \frac{N M_{f}} { E A r_g} \right) r_g \d \phi $$

ove $A$ è l'area di sezione, $r_g$ è il raggio baricentrico (supposto costante), $\delta=r_g-r_n$ è la distanza tra questi è il raggio neutro, e, per sezioni circolari piene, $\xi= 1.11$, e

$$ r_n = \frac{\left(r_e-r_i\right)^2}{8\left( \frac{r_i+r_e}{2} - \sqrt{r_i r_e} \right)} $$

ove $r_i,r_e$ corrispondono ai raggi interno ed esterno.

La tensione assiale indotta dal momento flettente è ricavabile come

$$ \sigma_f = \frac{M_f \left(r_n - r\right)}{A \delta r} $$


Continuazione MAGLIA DI CATENA

maglia di catena, modello cattedra fine lezione ven 4 mar, formato wxm

Definiamo assi locali (η, ε e ζ) nella sezione della maglia di catena considerata come trave:

Figure 1: Assi locali

Per le sezioni circolari non è necessario indicare come sono orientati nello spazio η e ε sezione per sezione, perché la sezione ruotata rimane uguale a se stessa. Tuttavia se la sezione della trave è ellittica può essere necessario indicare in quale direzione si trova il semiasse maggiore, visto che la risposta della maglia di catena cambia a seconda di dove si trova il semiasse maggiore.

La struttura della maglia di catena possiede due piani di simmetria e di conseguenza se riesco a risolvere il problema elastico su 1/4 di struttura è possibile ricavare il comportamento degli altri 3/4 semplicemente per reazioni di simmetria. Aggiungendo i vincoli ottenuti dalla continuità del materiale e dall'analisi delle condizioni di simmetria la struttura da analizzare diventa:

Figure 2: Struttura da analizzare

La struttura ottenuta è una volta iperstatica, la semplifichiamo sostituendo il doppio pendolo superiore con un carrello e aggiungendo la coppia C relativa al vincolo soppresso, in modo che sia risolvibile il problema strutturale.

Figure 3: Struttura risolvibile

Dall'equilibrio della struttura abbiamo trovato FA = 0.

Nella lezione precedente la struttura è stata risolta supponendo che l'energia potenziale elastica U sia prodotta esclusivamente dal momento flettente - Ipotesi di trave dritta snella. $$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{l} \frac{M_{f,\xi}^2}{2 E J_{\xi \xi }} \d l $$ In realtà il momento flettente è solo una delle possibili sollecitazioni che agiscono sulla trave, poiché trattando un sistema piano avremo anche lo sforzo di taglio T e lo sforzo normale N - Ipotesi di trave dritta, con l'aggiunta di T e N la formula dell'energia potenziale elastica U diventa:

$$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{l} \frac{M_{f,\xi}^2}{2 E J_{\xi \xi }} + \frac{N ^2}{2 E A} +\eta_{\xi}\frac{T_{ \xi}^2}{2 G A} \d l $$

Si ricava il taglio e lo sforzo normale su ogni tratto della struttura:

Figure 4: Tratto 1

$$N1(\theta )=FAcos(\theta )+\frac{P}{2}sin(\theta )$$ $$T1(\theta )=\frac{P}{2}cos(\theta )-FAsin(\theta )$$

Figure 5: Tratto 2

$$N2=\frac{P}{2}$$ $$T2=FA$$


Verifica trave snella e curva

Abbiamo utilizzato dei dati presi a campione da un catalogo di produttori di catene industriali:

La trave in questione presenta un rapporto lunghezza/diametro piccolo (vicino a 3), quindi non può essere considerata snella. A tal proposito risulta indispensabile introdurre nella trattativa sforzo di taglio e sforzo normale.

Si osserva inoltre che il raggio di curvatura dell'asse baricentrico (R) non è molto maggiore dello spessore radiale della sezione, e ciò rende la curvatura non trascurabile. Si deve necessariamente studiare il problema anche attraverso la teoria della trave curva.


Dalle verifiche precedenti risulta necessario considerare il problema anche attraverso la teoria della trave curva, con la quale si calcola l'energia potenziale elastica U dell'arco di circonferenza (tratto 1 - vedi Figure 3) attraverso: $$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{0}^{\Phi} \left( \frac{M_{f}^2 }{2 E A \delta r_g} + \frac{N ^2}{2 E A} +\xi \frac{T ^2}{2 G A} - \frac{N M_{f}} { E A r_g} \right) r_g \d \phi $$

Nel foglio di calcolo presente all'inizio di questo paragrafo sono presenti entrambe le soluzioni:

A seguito sono riportati i passaggi per giungere al calcolo dell'energia potenziale elastica U attraverso le due strategie elencate:

Figure 6: Calcolo U1dir e Ucurv
Figure 7: Calcolo U2 e U

A conclusione dei calcoli si esegue il confronto relativo ai metodi attraverso il rapporto tra l'allungamento della maglia di catena e allungamento del tondino relativo, con lunghezza definita dal passo della maglia, composto dello stesso materiale e con pari sezione:

Da questa verifica possiamo osservare che non c'è molta differenza nella risposta ai carichi nel considerare il tratto 1 della maglia di catena come trave curva e trave dritta (con T e N). Invece se consideriamo la maglia di catena come una trave dritta snella si commette un errore dell'ordine di circa 50%.

Si può ricavare il momento flettente nella struttura, coincidente con la coppia C, già definita, e conseguentemente valutare lo stato tensionale al punto di applicazione della coppia stessa: [attenzione che il raggio r non è quello baricentrico, ma è quello a cui si campiona la tensione, ossia (r-d/2)]

Figure 8: Calcolo Stato Tensionale

Quanto visto, varia in funzione della sezione che si caratterizza, delle sue proprietà strutturali e geometriche. [Sezione circolare a dimensioni e materiale definiti] Per maggiore accuratezza si può verificare il carico garantito con i manuali utilizzati per le dimensioni della catena. 1)

Comandi MAXIMA

Di seguito sono presenti una serie di funzioni utili alla risoluzione di alcune problematiche con l'ausilio del calcolatore.

Definizione di Funzioni

Definire una funzione può avvenire attraverso due diverse strategie:

La prima prevede l'assegnazione della funzione con “:” :

Figure 9: Assegnazione Funzione

Questo comando implementa le funzioni valutandole all’atto della definizione e non all’atto della chiamata. Utilizzando la funzione “ev”, in figura, posso assegnare alla variabile x un qualsiasi valore specifico, al fine di sostituirla all'espressione e determinarne il valore. Nel caso in cui risulti utile ripetere l'ultimo passaggio per differenti valori della variabile di funzione, si può pensare di utilizzare un metodo più compatto e sintatticamente più utile.

Il secondo invece definisce la funzione con il comando“:=” :

Figure 10: Definizione Funzione

Tale tipo di sintassi non prevede la valutazione, al momento dell'assegnazione, dell'espressione che è a destra di “:=” .

Se non voglio ritardare la valutazione della funzione utilizzo il comando “define” :

Figure 11: Comando Define

Naturalmente si posso definire funzioni in più variabili:

Figure 12: Funzione in 3 Variabili

Grafici e Sviluppo in Serie di Taylor

Sviluppo in serie di taylor la funzione precedentemente vista:

Figure 13: Sviluppo in Serie di Taylor

Nel comando troviamo la funzione, la relativa variabile, seguita da intorno e grado di sviluppo; in questo caso “fun(x)” nella variabile x, nell'intorno specifico di $\pi/6$ al primo ordine.2)

Assegno a “t1fun” e “t2fun” gli sviluppi in serie di Taylor rispettivamente al primo e al secondo ordine

Figure 14: Serie di Taylor al 1° ordine
Figure 15: Serie di Taylor al 2° ordine

Si possono graficare le funzioni attraverso due metodi:un metodo standard con comando “wxplot2d” che genera il grafico nella pagina di lavoro: qui il primo parametro può essere o una singola funzione,o una lista di funzioni, il secondo parametro è una lista che contiene la variabile da far scorrere e gli estremi dell'intervallo in cui essa varia. Con il terzo parametro, invece facoltativo, si può indicare una legenda sul grafico, qualora quella di default non soddisfacesse le richieste dell'operatore.

Figure 16: Grafico Sviluppo in Serie di Taylor

Un secondo metodo prevede la stesura del grafico in una finestra flottante diversa dal foglio di lavoro, scrivendo “plot2d”.

Si può automatizzare la procedura, calcolando lo sviluppo in serie di Taylor a gradi superiori, per poi graficarli. Un blocco di istruzioni è un insieme di comandi dati al calcolatore, limitati da parentesi tonde, con output dato dall'ultima espressione.

Figure 17: Blocco di Istruzioni

“plottami” è definita come una lista quota.

Figure 18: Definizione plottami

Allora si può passare all'estrazione della serie di Taylor imponendo l'ordine pari ad “i=3”.

Figure 19: Grafico Sviluppo in Serie di Taylor

Attraverso l'ausilio di “append”, con cui accodiamo una funzione ad un'altra, si può aggiungere alla definizione di “plottami”, la lista “legendami”, definita come concatenazione di se stessa con l'elemento che contiene per esempio i. Nel “plottami” si ha come primo parametro la lista di funzioni di riferimento, come secondo, la variabile seguita dal range di “plotaggio”, seguita ulteriormente dalla lista “legendami” ed infine da una seconda variabile e il relativo intervallo.

NOTE

Autori

Federico Rizzello, mat. 106165, Riccardo Tramacere, mat. 104297, Rafael Caberlon, mat. 103519.

Tabella di monitoraggio carico orario

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Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina.

Autore/Revisore Prima stesura Prima revisione Seconda stesura Revisione finale Totale
Caberlon 6 6
Rizzello 6
Tramacere 6
Revisore 1
Totale -

La sezione relativa ai revisori è da compilarsi a cura del curatore.

PATTUME

Lista dei simboli

$u$,$v$,$w$ spostamenti in direzione x,y,z rispettivamente
$\alpha$ fattore di scala dell'elemento triangolare, vedi Figura 19
1)
Il calcolo della $\sigma_{f}$ non rispettava quanto visto nel manuale, ciò comporta la presenza di un errore di stesura delle formule precedenti.
2)
fare ben attenzione a definire le variabili correttamente all'interno della funzione di Taylor x=3. Una soluzione può essere utilizzare il comando “define”