====== Formulazione elemento piastra isoparametrico bilineare 4 nodi ======
Analogo all'elemento 75 di MSC.Marc.


{{ :wikitelaio2017:modi_piastra_mindlin_v002.pdf | modi deformativi piastra alla Reissner-Mindlin}}

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caso di pura curvatura $\kappa_{xy}$, come da modello FEM prima lezione MARC

{{ :wikipaom2017:curvatura_torsionale_o_flessionale_anticlastica_kappaxy.odt |}}

{{ :wikipaom2017:curvatura_torsionale_o_flessionale_anticlastica_kappaxy.pdf |}}
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Schema geometrico

{{ :wikipaom2017:piastra_mindlin.pdf | schema corretto piastra}}


===== Funzioni di interpolazione nodali =====

per $i=1\ldots4$

$$
N_{i}(\xi,\eta)=\frac{1}{4}\left(1 \pm \xi \right)\left(1 \pm \eta \right)
$$

Interpolazione di coordinate, spostamenti, rotazioni
$$
f(\xi,\eta)=\sum_i N_i(\xi,\eta) f_i  = \mathrm{N} (\xi,\eta) \; \mathrm{f}
$$
ove $\mathrm{N}(\xi,\eta)$ è un vettore riga, $\mathrm{f}$ è un vettore colonna di termini $f_i$ che possono essere
  * $x_i$, $y_i$, $z_i$ coordinate nodali in un sistema di riferimento $Cxyz$ __fisico__ ma __locale__, ossia rototraslato rispetto ad un sistema $OXYZ$ globale al fine di portare la direzione $z$ locale ad essere normale all'elemento ((secondo una qualche definizione di ortogonalità tra direzione ed elemento, definizione non banale nel caso di elementi a nodi non complanari.))
  * $u_i$, $v_i$, $w_i$ spostamenti nodali rispetto agli assi $xyz$;
  * $\theta_{x,i} \equiv \theta_i \equiv r_i$, $\theta_{y,i} \equiv \phi_i \equiv s_i$, rotazioni nodali rispetto agli assi $xy$;
Le funzioni spostamento $u(\xi,\eta)$,$v(\xi,\eta)$ e $w(\xi,\eta)$ sono riferite ai punti dul piano di riferimento.

In forma prodotto vettore riga / vettore colonna posso 

===== Titolo =====

==== Operatore differenziale per funzioni spostamento e rotazioni ====

Operatore differenziale a partire da valori nodali $f_i$ di una funzione, $i= 1\ldots n$ con $n$ numero di nodi ovvero numero di funzioni di forma

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x}
\\ 
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{bmatrix}
=
\underbrace{
  \begin{bmatrix}
    \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
    \\ 
    \frac{\partial x}{\partial \eta} &\frac{\partial y}{\partial \eta}
    \end{bmatrix}^{-1}
    \begin{bmatrix}
    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots
    \\ 
    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots
  \end{bmatrix}
}_{\mathrm{Q}(\xi,\eta)}
  \begin{bmatrix}
    \vdots
    \\ 
    f_i
    \\
    \vdots
  \end{bmatrix}
=\mathrm{Q}(\xi,\eta) \mathrm{f}
$$

Notiamo che la matrice jacobiana può essere definita sulla base di 

$$
  \begin{bmatrix}
    \frac{\partial x}{\partial \xi} 
    \\ 
    \frac{\partial x}{\partial \eta}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots
    \\ 
    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots
  \end{bmatrix}
  \mathrm{x}
, \quad
  \begin{bmatrix}
    \frac{\partial y}{\partial \xi} 
    \\ 
    \frac{\partial y}{\partial \eta}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots
    \\ 
    \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots
  \end{bmatrix}
  \mathrm{y}
$$



Si può definire per blocchi

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}
\\ 
\frac{\partial u}{\partial y}
\\
\frac{\partial v}{\partial x}
\\ 
\frac{\partial v}{\partial y}
\end{bmatrix}
=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
  \mathrm{Q}(\xi,\eta) && \mathrm{0}
  \\ 
  \mathrm{0}           && \mathrm{Q}(\xi,\eta)
\end{bmatrix}
}_{\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)}
\begin{bmatrix}
  \mathrm{u}
  \\ 
  \mathrm{v}
\end{bmatrix}
$$
ove $\mathrm{u}$ e $\mathrm{v}$ sono vettori colonna contenenti gli $n$ spostamenti nodali $u_i$ e  $v_i$.

==== Componenti di deformazione membranale e della curvatura ====

Poiché le componenti membranali di deformazioni sono definite sulla base degli spostamenti al piano di riferimento abbiamo

$$
\begin{bmatrix}
  \bar{\epsilon}_x
  \\ 
  \bar{\epsilon}_y
  \\
  \bar{\gamma}_{xy}
\end{bmatrix}
=
\underbrace{
  \begin{bmatrix}
    1 && 0 && 0 && 0
    \\ 
    0 && 0 && 0 && 1
    \\
    0 && 1 && 1 && 0
  \end{bmatrix}
}_{\mathrm{H}^\prime}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}
\\ 
\frac{\partial u}{\partial y}
\\
\frac{\partial v}{\partial x}
\\ 
\frac{\partial v}{\partial y}
\end{bmatrix}
=
\mathrm{H}^\prime
\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
\begin{bmatrix}
  \mathrm{u}
  \\ 
  \mathrm{v}
\end{bmatrix}
$$

Le componenti di curvatura sono invece definite sulla base delle sole rotazioni (e non delle di $w$), da cui

$$
\begin{bmatrix}
  \kappa_x
  \\ 
  \kappa_y
  \\
  \kappa_{xy}
\end{bmatrix}
=
\underbrace{
  \begin{bmatrix}
     0 &&  0 && +1 &&  0
    \\ 
     0 && -1 &&  0 &&  0
    \\
    -1 &&  0 &&  0 && +1
  \end{bmatrix}
}_{\mathrm{H}^{\prime\prime}}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial r}{\partial x}
\\ 
\frac{\partial r}{\partial y}
\\
\frac{\partial s}{\partial x}
\\ 
\frac{\partial s}{\partial y}
\end{bmatrix}
=
\mathrm{H}^{\prime\prime}
\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
\begin{bmatrix}
  \mathrm{r}
  \\ 
  \mathrm{s}
\end{bmatrix}
$$

==== Componenti di deformazione entro piano ====

Nota quindi la relazione

$$
\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=\underline{\bar{\epsilon}}(\xi,\eta) + z \underline{\kappa} (\xi,\eta)
$$

valida per le componenti di deformazione entro piano al generico punto P

$$
\underline{\epsilon}=
\begin{bmatrix}
  \epsilon_x
  \\ 
  \epsilon_y
  \\
  \gamma_{xy}
\end{bmatrix}
$$

definite in funzione delle componenti (entro piano) di deformazione al punto Q, proiezione di P sul piano di riferimento ($z=0$ in Q)

$$
\underline{\bar{\epsilon}}=
\begin{bmatrix}
  \bar{\epsilon}_x
  \\ 
  \bar{\epsilon}_y
  \\
  \bar{\gamma}_{xy}
\end{bmatrix}
$$

e delle curvature locali

$$
\underline{\kappa}=
\begin{bmatrix}
  \kappa_x
  \\ 
  \kappa_y
  \\
  \kappa_{xy}
\end{bmatrix}
$$


Notiamo che mancano le componenti fuori piano $\epsilon_z, \gamma_{zx}, \gamma_{yz}$ che normalmente caratterizzano lo stato deformativo di un punto entro un corpo deformabile.

possiamo definire per blocchi (1° blocco: 3x8, 2° blocco: 3x4, 3° blocco: 3x8) una matrice $\mathrm{B}^\prime(\xi,\eta,z)$ 3x20 di legame spostamenti - deformazioni

$$
\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=
\begin{bmatrix}
 \mathrm{H}^\prime \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
 &
 \mathrm{0}
 &
 z \; \mathrm{H}^{\prime\prime} \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  \mathrm{u}
  \\ 
  \mathrm{v}
  \\
  \mathrm{w}
  \\
  \mathrm{r}
  \\
  \mathrm{s}
\end{bmatrix}
$$

da cui, raccolti entro $\mathrm{d}$ i gg.d.l. nodali,

$$
\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=
\mathrm{B}^\prime(\xi,\eta,z)
\mathrm{d}
$$

ovvero, separando i termini di $\mathrm{B}^\prime$ in due distinte matrici in base a loro ordine in $z$
$$
\underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=
\left(
  \mathrm{B}^\prime_0(\xi,\eta)
  +
  \mathrm{B}^\prime_1(\xi,\eta) z
\right)
\mathrm{d}
$$

==== Componenti di deformazione tagliante fuori piano ====

Le componenti di deformazione $\gamma_{yz}$ e $\gamma_{zx}$ possono essere definite sulla base dello scostamento tra le derivate in $x,y$ dello spostamento normale al piano $w$ e le componenti di rotazione $r,s$; in particolare

$$
\gamma_{yz}= \frac{\partial w}{\partial y} - r, \quad
\gamma_{zx}= \frac{\partial w}{\partial x} + s
$$

da cui

$$
\begin{bmatrix}
\gamma_{zx} \\ \gamma_{yz}
\end{bmatrix}
=
\mathrm{Q} (\xi,\eta) \mathrm{w} 
+ 
\begin{bmatrix}
0 &  +\mathrm{N}(\xi,\eta)  \\ -\mathrm{N}(\xi,\eta) & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathrm{r}  \\ \mathrm{s}
\end{bmatrix}
$$

ovvero

$$
\begin{bmatrix}
\gamma_{zx} \\ \gamma_{yz}
\end{bmatrix}
=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{Q} (\xi,\eta) & 
\begin{matrix}
0 \\-\mathrm{N}(\xi,\eta)
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\mathrm{N}(\xi,\eta) \\ 0
\end{matrix}
\end{bmatrix}
}_{\mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta)}
\begin{bmatrix}
\mathrm{u} \\
\mathrm{v} \\
\mathrm{w} \\
\mathrm{r} \\ 
\mathrm{s}
\end{bmatrix}= \mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta) \; \mathrm{d}
$$

con $\mathrm{B}^{\prime\prime}$ è definita per affiancamento di 5 blocchi 2x4.