====== INTRODUZIONE A MAXIMA E TELAIETTO ====== {{ :wikitelaio2016:img_7760.jpg?300 |}} ===== Rigidezza telaietto ===== Lo scopo della lezione è quello di calcolare la rigidezza del telaietto a maglia rettangolare utilizzando il manipolatore algebrico Maxima. Di seguito sono riportati i passaggi che permettono la risoluzione del problema. Viene poi allegato il file di Maxima per la soluzione numerica e per la comprensione della sua sintassi. E’ possibile approcciare il problema studiando il cedimento del punto C (lungo l’asse z) sotto l’azione del carico P tenendo vincolati gli altri tre vertici del telaio. Facciamo alcune considerazioni sul telaietto in esame: -Geometria simmetrica rispetto ai piani xz e yz; -Caricamento antisimmetrico rispetto ai piani xz e yz; Ipotesi: Consideriamo che la sezione sia costante, circolare cava, taglio e sforzo normale trascurabili, pertanto possiamo calcolare le rigidezze flessionali EJ_xx , EJ_yy e rigidezza torsionale GJ_p. Ipotizziamo inoltre che il materiale abbia un comportamento elastico-lineare: se ho caricamento simmetrico la risposta del sistema sarà simmetrica; se ho caricamento antisimmetrico la risposta sarà antisimmetrica. {{ :wikitelaio2016:img_7759.jpg?300 |}} Data la caratteristica antisimmetrica possiamo studiare solo un quarto della struttura. {{ :wikitelaio2016:img_7761.jpg?300 |}} Come si vede nella foto, abbiamo sei reazioni vincolari (vincoli cinematici) : XB, ZB, CB al punto B; YA, ZA, CA al punto A. In totale ho sei gradi di libertà e sei reazioni vincolari: la struttura sembra isostatica, quindi proviamo a risolverla con le equazioni di equilibrio, rispettivamente lungo le tre traslazioni e le tre rotazioni. {{ :wikitelaio2016:20160404_171828_hdr.jpg?300 |}} Notiamo che l’equilibrio alla rotazione lungo l’asse z è un’identità (il sistema si riduce a cinque equazioni e 6 incognite) e quindi la matrice del sistema è singolare: non c’è soluzione univoca ma 8^1 soluzioni. La struttura è una volta iperstatica e allo stesso tempo labile poiché la rotazione lungo z non è bloccata. Dato che la struttura è iperstatica lascio una delle reazioni in forma parametrica per poi introdurre un’equazione di completezza. In questo caso scelgo come parametro ZB e risolvo le equazioni esplicitando le altre variabili (XB, YA, ZA, CA, CB). Disegno i momenti flettenti e torcenti dovuti a ZB e P, usando la sovrapposizione degli effetti poiché il problema è lineare. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione del carico P. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione di ZB. Tabella che rappresenta i vari contributi dei momenti. | |contributo ZB | contributo P | | Mf_BC | +ZB * x | + 0 | | Mt_BC | +ZB * a | - P * a | | Mf_AC | +ZB * y | - P * y | | Mt_AC | +ZB * b | + 0 | Per calcolare gli spostamenti devo applicare il teorema di Castigliano, utile prima di tutto per definire l’incognita iperstatica e successivamente per trovare lo spostamento di C sotto il carico P e ottenere quindi un valore della rigidezza del telaio. ==== Teorema di Castigliano ==== Ipotesi: strutture a comportamento lineare. Enunciato: La derivata parziale dell’energia potenziale elastica rispetto ad una forza o ad una coppia è pari allo spostamento o rotazione nella direzione della forza o coppia stessa. {{ :wikitelaio2016:img_7762.jpg?300 |}} ∂U/∂P=δ_P ; ∂U/∂C=θ_C Per poter applicare Castigliano, valuto l’energia potenziale elastica totale della struttura. Formula energia potenziale totale. Calcoliamo lo spostamento di B sotto l’azione del carico ZB incognito ed applichiamo l’equazione di compatibilità al vincolo: spostamento verticale dovuto a ZB nullo. ∂U/∂ZB=δ_ZB con δ_ZB=0. In questo modo troviamo il valore dell’incognita iperstatica ZB. Ora applichiamo nuovamente Castigliano per ricavare lo spostamento d_P. Infine estendiamo i risultati a tutta la struttura sfruttando l’antisimmetria. ===== Lista dei simboli ===== | E | Modulo di Young | | J | Momento di inerzia | | G | Modulo di elasticità tangenziale | |J_p | Momento d'inerzia polare | |XA,YA,ZA| Reazioni vincolari in A rispettivamente in direzione x, y, z | |XB,YB,ZB| Reazioni vincolari in B rispettivamente in direzione x, y, z | | U | Energia potenziale elastica | | δ_P | Spostamento sotto l'azione del carico P | ===== Riferimenti ===== Comando per il lancio del programma maxima wxmaxima {{:wikitelaio2016:v000.wxm|codice cattedrapre pausa intermedia}} {{:wikitelaio2016:v001.wxm|codice cattedra a fine lezione}} ====Autori==== Daniele Coelli, mat.104944 , Andrea Bellucci, mat. 105204, Andrea Bertolini, mat. 101174. ====Tabella di monitoraggio carico orario==== Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. ^ Autore/Revisore ^ Prima stesura ^ Prima revisione ^ Seconda stesura ^ Revisione finale | | | Daniele Coelli | **4 ** | --- | --- | --- | **4 ** | | Andrea Bellucci | **4 ** | --- | --- | --- | **4 ** | | Andrea Bertolini | **4 ** | --- | --- | --- | **4 ** | | Revisore 1 | --- | --- | --- | --- | --- | | Revisore 2 | --- | --- | --- | --- | --- | | Revisore 3 | --- | --- | --- | --- | --- | | Revisore 4 | --- | --- | --- | --- | --- | | **Totale** | **12 ** | --- | --- | --- | **12 ** | ====== varie ====== regole spicciole di valutazione (ev): ''sin(alpha)'' prima valuto i parametri passati alla funzione (''alpha''), poi valuto la funzione sui parametri già valutati. ''a + b'' equivalente a ''somma(a,b)'' Assegnazioni ''variabile : contenuto'' Prima valuto il contenuto (cuò che è a DX del '':''), poi lo associo alla variabile. NON valuto mai la variabile (ciò che è a SX del '':'' ), almeno non spontaneamente ~~DISCUSSION~~