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=====LEZIONE 13=====
==A cura di Marco Tambara e Nicolò Vincenzi ==

===== Prova a flessione a 4 punti =====

La prova a flessione a 4 punti consiste nel caricare una piastra appoggiata su due appoggi con due carichi come in figura. Si rileva inoltre che la struttura è simmetrica e di conseguenza se ne studia solo una metà.
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{{ :wikipaom2018:flex2.png?400 |}}
Consideriamo un campione della piastra nella zona intermedia della stessa, evidenziato in figura in rosso.
 Il caricamento comporta la sollecitazione flessionale pura nel campione, che in modulo vale $M_f=F\cdot l$, in cui $l$ è la distanza del punto di applicazione di una delle due forze dall'appoggio più vicino. Considerando la figura, si può definire il flusso delle tensioni in direzione $x$, $y$ e $z$:
\begin{align}
m_x=&\ \frac{F l}{b}=\int_h \sigma_x z\, dz\\
m_y=&\ 0\\
m_{xy}=&\ 0
\end{align}
Ipotizzando il materiale isotropo e omogeneo, si può scrivere il sistema di 3 equazioni in 3 incognite ($k_x$, $k_y$ e $k_{xy}$):
\begin{equation}
\underline{\underline{C}}\, \underline{k}=\underline{m}
\end{equation}
e considerando che $\underline{\underline{C}}=\frac{h^3}{12}\, \underline{\underline{D}}$, il sistema diventa:
\begin{equation}
\frac{h^3}{12}\, \underline{\underline{D}}\, \underline{k}=\underline{m}
\end{equation}
Risolvendo in Maxima, con $m_x=\frac{F l}{b}$, $m_{xy}=0$ e $m_y=0$:
\begin{align}
k_x=&\ \frac{12 l F}{b h^3 E}\\
k_y=&\ -\frac{12 l \nu F}{b h^3 E}= - \nu\, k_x
\end{align}
===programma maxima===
Questo significa che è presente una curvatura anche in direzione $y$, che non dovrebbe essere permessa dagli appoggi.

{{ :wikipaom2018:pringles.png?400 |}}


Si realizza però, che per via della curvatura in y si che i punti di contatto tra appoggi e piastra inizialmente erano dei segmenti, ma ora sono diventati dei singoli punti.

{{ :wikipaom2018:contatto.png?400 |}}

Si nota quindi come, grazie a questa nuova configurazione di applicazione, le forze tendano a ridurre la curvatura $k_y$. Tale curvatura però non si annullerà mai completamente in modo autonomo, bensì dovrebbero essere applicate due coppie agli estremi della piastra, come rappresentato  in figura:

{{ :wikipaom2018:sforzi.png?400 |}}


questo fatto è però in contrasto col tipèo di vincolo. Questi appoggi non potrebbero trasmettere un momento. Si deve però considerare il risultato "sperimentele" che vede il raddrizzarsi della piastra, quando sottoposta a schiacciamento. Questo implica che $m_y\neq\,0$ e $k_y=0$. Bisogna quindi aggiornare la soluzione del problema su Maxima considerando questa seconda opzione.
In queste condizioni si ammette quindi che i vincoli possano trasmettere un certo momento $m_y=m_x\,\nu$ che rende nulla la curvatura in y, $k_y$
===programma aggiornato===


====Risultati analisi con Elementi Finiti====
Di seguito sono riportati nuovamente lo schema del problema in esame e i relativi risultati dell'analisi agli elementi finiti. I due grafici sono relativi rispettivamente ad un contatto bilaterale e un contatto unilaterale. Si nota inoltre che il termine $\nu m_x$ non è altro che il termine $m_x$ scalato col valore di $\nu$. 

{{ :wikipaom2018:4pointbend.png?600 |}}

Analizzando il caso bilaterale si ha che la curvatura in y $k_y$ nel punto dell' appoggio, ad ascissa pari a 3, è nullo. Questo però è stato ottenuto forzando il contatto che in realtà è unilaterale e non bilaterale. Il secondo grafico mostra appunto questo risultato. si ha che per la natura del contatto vi è un gioco variabile $g(y)$ lungo la direzione y dovuto alla curvatura $k_y$. Si introduce quindi la condizione di Signorini. 
$$ P(y)\ g(y)=0$$
In questa relazione compaiono il suddetto gioco e la pressipone di contatto $P(y)$ e sta a indicare che dove il gioco non è nullo lo deve essere la pressione e viceversa. Di conseguenza si ha una non linearità dovuta all' inversione del carico e quindi la curvatura $k_y$ sull' appoggio, cioè ad ascissa 3, non è nulla.


==== Teoria degli elementi finiti ====
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La teoria degli elementi finiti consiste nella caratterizzazione attraverso elementi, i quali hanno diverse proprietà. Un primo elemento di vasto impiego è l'elemento piastra quadrilatero a 4 nodi. 

Questo rappresenta una porzione di materiale che si comporta coerentemente con i suoi gdl e si oppone alla deformazione linearmente. Sull'elemento si definisce una funzione di interpolazione, la quale permette, noti gli spostamenti dei nodi, di ricavare gli spostamenti di un qualsiasi punto dell'elemento.

I nodi sono i vertici del quadrilatero, e in questi punti la funzione è definita: $f_1$, $f_2$, $f_3$ e $f_4$.

La funzione di interpolazione è
$$
f_p=f_1 N_1(\xi,\eta)
+
f_2 N_2(\xi,\eta)
+
f_3 N_3(\xi,\eta)
+
f_4 N_4(\xi,\eta)
$$
dove per ogni $\xi$ e $\eta$, $\sum_i N_i (\xi,\eta)=1$. Il valore di $N_j (\xi_i,\eta_i)$ deve essere 1 se $i=j$, 0 se $i\neq j$.

 Per la definizione di $N$, si cerca una funzione continua e derivabile: i polinomi, con grado più basso possibile, sono adatti in quanto semplici da manipolare. Si scrive quindi $N_j$ evitando il termine quadratico $\xi^2$:
 $$
 N_j=a_j+b_j\, \xi + c_j\, \eta+d_j\, \xi \eta
 $$
Per ricavare i coefficienti si impone, per esempio nel vertice 1, che $N_1=1$ ($\xi=-1$ e $\eta=-1$) e negli altri 0. In questo modo si ottiene $a=b=c=d=\frac{1}{4}$:
$$
N_1=\frac{1}{4}\left( 1-\xi\right)\left( 1-\eta\right)
$$
Da questo si può osservare che $N=\frac{1}{4}$ al centro del quadratino, 1 nel primo vertice e 0 negli altri vertici. Quindi non è una retta lungo la direzione che congiunge i vertici 2 e 4.
 Invece, mantenendo $\xi$ costante $N_j$ è lineare in $\eta$ e viceversa. Questo andamento è detto bilineare. L'andamento bilineare è importante perché se si bloccano tutte le variabili tranne una, e l'unica libera è bilineare, allora sui 4 lati del quadrato il suo andamento è lineare.
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====Derivate parziali in $\xi$ e $\eta$ ====
 La funzione peso è derivabile:
 $$
 \frac{\partial f}{\partial \xi}= \sum_i f_i \frac{\partial N_i}{\partial \xi}
 $$
 $$
 \frac{\partial f}{\partial \eta}= \sum_i f_i \frac{\partial N_i}{\partial \eta}
 $$
 Dunque le derivate sono
 $$\frac{\partial f}{\partial \xi}= d \eta + b$$
 e 
 $$\frac{\partial f}{\partial \eta}= c \xi + d$$
 La prima è bilineare in $\eta$ e costante in $\xi$, mentre la seconda è bilineare in  $\xi$ e costante in $\eta$.

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~~DISCUSSION~~