===== Carico nodale equivalente =====

Sia dato un carico distribuito di volume in componenti $q_x,q_y$ applicato ai punti interni di un elemento triangolare CST. 

Ai lati dello stesso elemento sono applicate delle azioni distribuite di superficie $s_x, s_y$, eventualmente definite in termini di una pressione distribuita $p$ e di un'azione tangenziale $q$ e successivamente ridotte a componenti secondo il sistema globale. Tali azioni possono variare nello spazio $(x,y)$ e nel tempo $t$.

Si ammette inoltre la presenza di carichi esterni concentrati 

$$
\boldsymbol{P} = \begin{bmatrix}
P_{xi}\\ 
P_{yi}\\ 
P_{xj}\\ 
P_{yj}\\ 
P_{xk}\\ 
P_{yk}
\end{bmatrix}
$$ 

applicati ai vertici dell'elemento.

A fronte di uno spostamento virtuale $\delta \boldsymbol{d}$ dei nodi dell'elemento, si induce un campo di spostamenti interno $\delta \boldsymbol{u}$  pari a 

$$
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\delta u (x,y)\\ 
\delta v (x,y)
\end{bmatrix}
}_{\delta \boldsymbol{u}(x,y)}
=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
N_i & 0 & N_j & 0 & N_k  & 0 \\ 
0 & N_i & 0 & N_j & 0 & N_k  
\end{bmatrix}
}_{\boldsymbol{\mathrm{N}}(x,y)}
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\delta u_i \\ 
\delta v_i \\
\delta u_j \\ 
\delta v_j \\
\delta u_k \\ 
\delta v_k
\end{bmatrix}
}_{\delta \boldsymbol{d }}
$$

Il lavoro virtuale di tali azioni concentrate e distribuite è

$$
\delta W = 
  \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}}
  \boldsymbol{P}
  + \iint_{\mathrm{area}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} 
       \begin{bmatrix}
         q_x \\ 
         q_y
       \end{bmatrix} tdA
  + \int_{\mathrm{perim.}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} 
       \begin{bmatrix}
         s_x \\ 
         s_y
       \end{bmatrix} tdl
$$  

$$
\delta W = 
  \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}}
  \underbrace{
  \left(
    \boldsymbol{P}
  + \iint_{\mathrm{area}} \boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} 
       \begin{bmatrix}
         q_x \\ 
         q_y
       \end{bmatrix} tdA
  + \int_{\mathrm{perim.}}\boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} 
       \begin{bmatrix}
         s_x \\ 
         s_y
       \end{bmatrix} tdl
  \right)}_{\boldsymbol{F}}
$$  

da cui la definizione di forze nodali equivalenti 
$ 
\boldsymbol{F} = \begin{bmatrix}
X_i & Y_i & X_j & Y_j & X_k & Y_k
\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
$ 
; tale equivalenza è definita in termini di egual lavoro virtuale su di uno spostamento virtuale generico.

La singola componente di $\boldsymbol{F}$ è definibile come il lavoro delle forze applicate all'elemento sul campo di spostamenti indotto da una modulazione unitaria di uno dei gradi di libertà; si ottiene ad esempio

$$
X_j = 
  P_{x,j} 
+ \iint_{\mathrm{area}} q_x N_j(x,y) t dA 
+ \int_{\mathrm{ij}} s_x N_j(x,y) tdl
+ \int_{\mathrm{jk}} s_x N_j(x,y) tdl
+ \int_{\mathrm{ki}} s_x N_j(x,y) tdl
$$

ove gli ultimi tre integrali sono da svolgersi scorrendo sui lati $\mathrm{ij}$,$\mathrm{kj}$, $\mathrm{ki}$.

Nel caso $q_x$ o $s_x$ risultino costanti è possibile estrarli dagli integrali ed utilizzare le proprietà integrali della funzione di forma $N_j$ associata al nodo $\mathrm{j}$

$$
\frac{
\iint_{\mathrm{area}} N_j(x,y) dA
}{A} = \frac{1}{3}
$$

$$
\frac{
\int_{\mathrm{ij}} N_j(x,y) dl
}{l^{\mathrm{ij}}} =
\frac{
\int_{\mathrm{jk}} N_j(x,y) dl
}{l^{\mathrm{jk}}} = \frac{1}{2} 
$$

$$
\frac{
\int_{\mathrm{ki}} N_j(x,y) dl
}{l^{\mathrm{ki}}} = 0
$$

ove $l^\mathrm{ij}$, $l^\mathrm{jk}$ e $l^\mathrm{ki}$ sono le lunghezze degli associati lati.

Si ottengono quindi le relazioni semplificate descritte nel paragrafo seguente.
==== Caso particolare: azioni distribuite uniformi e interpretazione ad aree di influenza ====

Consideriamo uno spostamento virtuale d'esempio

{{:wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002ab.png|}} 

Riduzione a carico nodale equivalente e interpretazione ad aree di influenza nodale

{{ :wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002c.png |}}

Tale modello ad aree di influenza nodale **non** risulta coerente con la definizione energetica nel caso di carichi variabili nello spazio, ad esempio ad andamento lineare in $x$ o $y$; l'errore indotto tuttavia diminuisce con la dimensione caratteristica degli elementi.


Sorgenti ipe:
{{ :wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002ab.pdf |ab}}
{{ :wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002c.pdf |c}}


===== Altro =====

{{:wikipaom2017:img020.jpg?200|}}