**DEFINIZIONE SPOSTAMENTI**


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Per ogni punto di coordinate ξ,η possiamo ricavare l’associato punto in coordinate  x,y semplicemente definendo le 4 funzioni di forma:
$$N_{1,2,3,4} = \frac{\left ( 1\pm \xi  \right )\left ( 1\pm \eta  \right )}{4}$$

e definendo le coordinate:
$$\left\{\begin{matrix}
x(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, \eta )x_{i}\\ 

y(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, \eta )y_{i}
\end{matrix}\right.

\quad(1)$$      

Esiste anche una forma inversa ma non è così semplice perché la relazione non è lineare. La mappatura inversa si può fare con il Maxima associando al punto P un sistema di equazioni quadratiche che danno due soluzioni: una delle due è un punto interno, l’altra è un punto esterno e quindi può essere scartato. Un modo più rapido è iterare con Newton-Raphson ma in entrambi casi la mappatura inversa risulta scomoda e quindi non viene effettuata.

La figura rappresentata nel piano ξ,η è generalizzabile a coprire tutti gli elementi che troviamo in MARC. Ad esempio, se abbiamo elementi con nodi di centro lato (elementi quadratici perchè quadratico è lo spostamento lungo i lati) anche questi possono essere mappati con un quadrato in dominio naturale che si estende da -1 a 1.
L’unica differenza è che ci sono 8 nodi, quindi 8 punti per i quali definire le coordinate x,y, gli spostamenti nodali e le funzioni di forma
((Esistono anche elementi con il nodo centrale però non li troviamo in MARC, quelli a 9 nodi sono stati sviluppati prima di quelli a 8 nodi ma usandoli si è verificato che quel nono nodo non migliorava i risultati quindi è stato tolto)).
Per gli 8 nodi le funzioni di forma hanno un andamento polinomiale. Se ci si muove a ξ costante o a η costante, la funzione è biquadratica (parabole). Se, invece, ci si muove contemporaneamente a ξ e η, la funzione ha gradi quartici ma lungo i lati è parabolica:
<figure 1>
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<caption> funzioni di forma nodi di vertice </caption>
</figure>
<figure 2>
{{:wikipaom2017:20170514_100646.jpg?200|}}
<caption> funzioni di forma nodi di centro lato </caption>
</figure>
Il triangolare 3 nodi e il tetragonale 4 nodi hanno definizioni più semplici che non richiedono il passaggio per un piano naturale però in MARC il triangolare 3 nodi viene comunque dato come isoparametrico, in quanto il codice è programmato per gli isoparamerici e quindi risulta conveniente considerare tutti gli altri elementi così.
In definitiva, questa trattazione è estendibile ai vari elementi, l'importante è cambiare le funzioni di forma.
Tuttavia, c'è una regola generale da rispettare:
$$\sum_{i=1}^{N}N(\xi ,\eta )=1$$ 
Poiché queste funzioni di forma sono usate come peso in una media ponderata, è buona norma che la somma faccia 1.
Dal punto di vista fisico, garantire questo vuol dire garantire un moto che sia di pura traslazioni in x o y o combinazione delle 2.






Allo stesso modo è possibile definire gli spostamenti:
$$U\left ( \xi ,\eta  \right )=\sum_{i=1}^{4} N_{i}\left ( \xi ,\eta  \right )U_{I}$$