===== Energia potenziale elastica della trave curva piana ===== Formula per l'energia interna di una trave curva nel piano. Lo sforzo normale $N$ è supposto positivo se trattivo, il momento flettente $M_f$ è supposto positivo se tende le fibre all'intradosso (ossia se tende a raddrizzare la trave); nel caso questa seconda convenzione non sia rispettata occorre variare il segno del termine misto $M_f N$. $$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{0}^{\Phi} \left( \frac{M_{f}^2 }{2 E A \delta r_g} + \frac{N ^2}{2 E A} +\xi \frac{T ^2}{2 G A} - \frac{N M_{f}} { E A r_g} \right) r_g \d \phi $$ ove $A$ è l'area di sezione, $r_g$ è il raggio baricentrico (supposto costante), $\delta=r_g-r_n$ è la distanza tra questi è il raggio neutro, e, per sezioni circolari piene, $\xi= 1.11$, e $$ r_n = \frac{\left(r_e-r_i\right)^2}{8\left( \frac{r_i+r_e}{2} - \sqrt{r_i r_e} \right)} $$ ove $r_i,r_e$ corrispondono ai raggi interno ed esterno. La tensione assiale indotta dal momento flettente è ricavabile come $$ \sigma_f = \frac{M_f \left(r_n - r\right)}{A \delta r} $$ ---- ====== Continuazione MAGLIA DI CATENA ====== {{:wikipaom2016:maglia_v004.wxm|maglia di catena, modello cattedra fine lezione ven 4 mar, formato wxm}} Definiamo assi locali (η, ε e ζ) nella sezione della maglia di catena considerata come trave: * ζ - allineato con l'asse baricentrico della trave; * η e ε - ortogonali all'asse baricentrico della trave. Nella //Figure 1// l'orientamento di ε è stato definito ortogonale al piano XY e quello di η è ottenuto di conseguenza per la regola della mano destra.
{{:wikipaom2016:lab2-fig1.jpg?300 |}} Assi locali
Per le sezioni circolari non è necessario indicare come sono orientati nello spazio //η// e //ε// sezione per sezione, perché la sezione ruotata rimane uguale a se stessa. Tuttavia se la sezione della trave è ellittica può essere necessario indicare in quale direzione si trova il semiasse maggiore, visto che la risposta della maglia di catena cambia a seconda di dove si trova il semiasse maggiore. La struttura della maglia di catena possiede due piani di simmetria e di conseguenza se riesco a risolvere il problema elastico su 1/4 di struttura è possibile ricavare il comportamento degli altri 3/4 semplicemente per reazioni di simmetria. Aggiungendo i vincoli ottenuti dalla continuità del materiale e dall'{{:wikitelaio2016:simmetria_antisimmetria.png?linkonly|analisi delle condizioni di simmetria}} la struttura da analizzare diventa:
{{:wikipaom2016:lab2-fig2.jpg?200|}} Struttura da analizzare
La struttura ottenuta è una volta iperstatica, la semplifichiamo sostituendo il doppio pendolo superiore con un carrello e aggiungendo la coppia //C// relativa al vincolo soppresso, in modo che sia risolvibile il problema strutturale.
{{:wikipaom2016:lab2-fig3.jpg?200|}} Struttura risolvibile
Dall'equilibrio della struttura abbiamo trovato FA = 0. Nella lezione precedente la struttura è stata risolta supponendo che l'//energia potenziale elastica// **U** sia prodotta esclusivamente dal momento flettente - **Ipotesi di trave dritta snella**. $$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{l} \frac{M_{f,\xi}^2}{2 E J_{\xi \xi }} \d l $$ In realtà il momento flettente è solo una delle possibili sollecitazioni che agiscono sulla trave, poiché trattando un sistema piano avremo anche lo //sforzo di taglio// **T** e lo //sforzo normale// **N** - **Ipotesi di trave dritta**, con l'aggiunta di T e N la formula dell'energia potenziale elastica U diventa: $$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{l} \frac{M_{f,\xi}^2}{2 E J_{\xi \xi }} + \frac{N ^2}{2 E A} +\eta_{\xi}\frac{T_{ \xi}^2}{2 G A} \d l $$ Si ricava il taglio e lo sforzo normale su ogni tratto della struttura:
{{:wikipaom2016:lab2-fig3.1.jpg?300|}} Tratto 1
$$N1(\theta )=FAcos(\theta )+\frac{P}{2}sin(\theta )$$ $$T1(\theta )=\frac{P}{2}cos(\theta )-FAsin(\theta )$$
{{:wikipaom2016:lab2-fig3.2.jpg?200|}} Tratto 2
$$N2=\frac{P}{2}$$ $$T2=FA$$ ---- ==== Verifica trave snella e curva ==== Abbiamo utilizzato dei dati presi a campione da un catalogo di produttori di catene industriali: *d filo = 10 mm; *Raggio interno Ri = 6.5 mm (R = 11.5 mm); *passo = 30 mm (passo-2*Ri = 2L = 17 mm). La trave in questione presenta un rapporto //lunghezza/diametro// piccolo (vicino a 3), quindi __non può essere considerata snella__. A tal proposito risulta indispensabile introdurre nella trattativa sforzo di taglio e sforzo normale. Si osserva inoltre che il raggio di curvatura dell'asse baricentrico (R) non è molto maggiore dello spessore radiale della sezione, e ciò rende la curvatura non trascurabile. Si deve necessariamente studiare il problema anche attraverso __la teoria della trave curva__. ---- Dalle verifiche precedenti risulta necessario considerare il problema anche attraverso la teoria della trave curva, con la quale si calcola l'energia potenziale elastica U dell'arco di circonferenza (tratto 1 - vedi //Figure 3//) attraverso: $$ \def\d{\,\mathrm{d}} U= \int_{0}^{\Phi} \left( \frac{M_{f}^2 }{2 E A \delta r_g} + \frac{N ^2}{2 E A} +\xi \frac{T ^2}{2 G A} - \frac{N M_{f}} { E A r_g} \right) r_g \d \phi $$ Nel foglio di calcolo presente all'inizio di questo paragrafo sono presenti entrambe le soluzioni: *Teoria della trave dritta con T e N; *Teoria della trave curva. A seguito sono riportati i passaggi per giungere al calcolo dell'energia potenziale elastica U attraverso le due strategie elencate:
{{:wikipaom2016:lab2-fig4.jpg?|}} Calcolo U1dir e Ucurv
{{:wikipaom2016:lab2-fig5.jpg?|}} Calcolo U2 e U
A conclusione dei calcoli si esegue il confronto relativo ai metodi attraverso il rapporto tra l'allungamento della maglia di catena e allungamento del tondino relativo, con lunghezza definita dal passo della maglia, composto dello stesso materiale e con pari sezione: *Trave dritta snella - maglia di catena (trascurando N e T) 1.75 volte più cedevole del tondino d'acciaio; *Trave dritta considerando T e N - maglia di catena 3.2 volte più cedevole del tondino d'acciaio; *Teoria Trave curva - maglia di catena 3.14 volte più cedevole del tondino d'acciaio. Da questa verifica possiamo osservare che non c'è molta differenza nella risposta ai carichi nel considerare il tratto 1 della maglia di catena come trave curva e trave dritta (con T e N). Invece se consideriamo la maglia di catena come una trave dritta snella si commette un errore dell'ordine di circa 50%. Si può ricavare il momento flettente nella struttura, coincidente con la coppia C, già definita, e conseguentemente valutare lo stato tensionale al punto di applicazione della coppia stessa: [attenzione che il raggio r non è quello baricentrico, ma è quello a cui si campiona la tensione, ossia (r-d/2)]
{{:wikipaom2016:sigmaf.png|}} Calcolo Stato Tensionale
Quanto visto, varia in funzione della sezione che si caratterizza, delle sue proprietà strutturali e geometriche. [Sezione circolare a dimensioni e materiale definiti] Per maggiore accuratezza si può verificare il carico garantito con i manuali utilizzati per le dimensioni della catena. ((Il calcolo della $\sigma_{f}$ non rispettava quanto visto nel manuale, ciò comporta la presenza di un errore di stesura delle formule precedenti.)) ====== Comandi MAXIMA ====== Di seguito sono presenti una serie di funzioni utili alla risoluzione di alcune problematiche con l'ausilio del calcolatore. ===== Definizione di Funzioni ===== Definire una funzione può avvenire attraverso due diverse strategie: La prima prevede l'assegnazione della funzione con ":" :
{{:wikipaom2016:funzione_1.png|}} Assegnazione Funzione
Questo comando implementa le funzioni valutandole all’atto della definizione e non all’atto della chiamata. Utilizzando la funzione "ev", in figura, posso assegnare alla variabile x un qualsiasi valore specifico, al fine di sostituirla all'espressione e determinarne il valore. Nel caso in cui risulti utile ripetere l'ultimo passaggio per differenti valori della variabile di funzione, si può pensare di utilizzare un metodo più compatto e sintatticamente più utile. Il secondo invece definisce la funzione con il comando":=" :
{{:wikipaom2016:funzione_2.png|}} Definizione Funzione
Tale tipo di sintassi non prevede la valutazione, al momento dell'assegnazione, dell'espressione che è a destra di ":=" . Se non voglio ritardare la valutazione della funzione utilizzo il comando "define" :
{{:wikipaom2016:funzione_3.png|}} Comando Define
Naturalmente si posso definire funzioni in più variabili:
{{:wikipaom2016:funzione_4(lez5).png|}} Funzione in 3 Variabili
===== Grafici e Sviluppo in Serie di Taylor ===== Sviluppo in serie di taylor la funzione precedentemente vista:
{{:wikipaom2016:fun_4(lab2).png|}} Sviluppo in Serie di Taylor
Nel comando troviamo la funzione, la relativa variabile, seguita da intorno e grado di sviluppo; in questo caso //"fun(x)"// nella variabile //x//, nell'intorno specifico di $\pi/6$ al primo ordine.((fare ben attenzione a definire le variabili correttamente all'interno della funzione di Taylor //"//x=3//"//. Una soluzione può essere utilizzare il comando "define")) Assegno a //"t1fun"// e //"t2fun"// gli sviluppi in serie di Taylor rispettivamente al primo e al secondo ordine
{{:wikipaom2016:taylor1_lab2_.png|}} Serie di Taylor al 1° ordine
{{:wikipaom2016:taylor2_lab2_.png|}} Serie di Taylor al 2° ordine
Si possono graficare le funzioni attraverso due metodi:un metodo standard con comando //"wxplot2d"// che genera il grafico nella pagina di lavoro: qui il primo parametro può essere o una singola funzione,o una lista di funzioni, il secondo parametro è una lista che contiene la variabile da far scorrere e gli estremi dell'intervallo in cui essa varia. Con il terzo parametro, invece facoltativo, si può indicare una legenda sul grafico, qualora quella di default non soddisfacesse le richieste dell'operatore.
{{:wikipaom2016:graf_taylor_lab2.png|}} Grafico Sviluppo in Serie di Taylor
Un secondo metodo prevede la stesura del grafico in una finestra flottante diversa dal foglio di lavoro, scrivendo //"plot2d"//. Si può automatizzare la procedura, calcolando lo sviluppo in serie di Taylor a gradi superiori, per poi graficarli. Un **blocco di istruzioni** è un insieme di comandi dati al calcolatore, limitati da parentesi tonde, con output dato dall'ultima espressione.
{{:wikipaom2016:blocco_lab2.png|}} Blocco di Istruzioni
//"plottami"// è definita come una lista quota.
{{:wikipaom2016:plottami_lab2.png|}} Definizione plottami
Allora si può passare all'estrazione della serie di Taylor imponendo l'ordine pari ad //"i=3"//.
{{:wikipaom2016:plottami_2lab2.png|}} {{:wikipaom2016:INFOX2.jpg|}} {{:wikipaom2016:graf2.4.jpg|}} Grafico Sviluppo in Serie di Taylor
Attraverso l'ausilio di //"append"//, con cui accodiamo una funzione ad un'altra, si può aggiungere alla definizione di **//"plottami"//**, la lista //"legendami"//, definita come concatenazione di se stessa con l'elemento che contiene per esempio //i//. Nel //"plottami"// si ha come primo parametro la lista di funzioni di riferimento, come secondo, la variabile seguita dal range di "plotaggio", seguita ulteriormente dalla lista "legendami" ed infine da una seconda variabile e il relativo intervallo. ===== NOTE ===== ====Autori==== Federico Rizzello, mat. 106165, Riccardo Tramacere, mat. 104297, Rafael Caberlon, mat. 103519. ====Tabella di monitoraggio carico orario==== Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. ^ Autore/Revisore ^ Prima stesura ^ Prima revisione ^ Seconda stesura ^ Revisione finale ^ Totale ^ | Caberlon | 6 | --- | --- | --- | **6 ** | | Rizzello | 6 | --- | --- | --- | --- | | Tramacere | 6 | --- | --- | --- | --- | | Revisore | --- | 1 | --- | --- | --- | | **Totale** | **- ** | ** ** | ** ** | ** ** | --- | La sezione relativa ai revisori è da compilarsi a cura del curatore. ~~DISCUSSION~~ ===== PATTUME ===== ===== Lista dei simboli ===== | $u$,$v$,$w$ | spostamenti in direzione x,y,z rispettivamente | | $\alpha$ | fattore di scala dell'elemento triangolare, vedi Figura {{ref>fiore}} |