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Trasformazione di coordinate, VERSIONE AVANZATA DEI LINK

Trasformazione di coordinate

Considerati gli spostamenti un nodo generico in un piano cartesiano di xy, nel caso in cui volessimo effettuare una lettura di questo nodo non più nel piano xy ma in un altro piano orientato secondo una terna ξη,terna che tipicamente risulta definita per rotazione di un certo angolo θ e vediamo quindi come poter risalire ad una trasformazione di coordinare necessaria per orientare gli spostamenti del nodo nella nuova terna cartesiana.


ove va precisato che il simbolo altro non è che un versore dell’asse x (dove il versore risulta essere un vettore di modulo unitario) e risulta essere il versore dell’asse y. Consideriamo il vettore spostamento di un nodo, se lo scomponessi lungo delle coordinare la cui definizione risulta essere indipendente dal sistema di coordinate, semplicemente dico che: dunque risulta essere una somma vettoriale e posso ben notare come il termine risulti essere maggiore del versore e anche il termine risulta essere maggiore del versore

Andando ora a definire lo spostamento nella terna cartesiana ξη, il vettore spostamento può dunque essere espresso in questa formulazione .Passiamo ora ad esprimere sia che secondo una quota ; ed una quota , dunque

e quindi posso riscrivere l’espressione del vettore spostamento nel seguente modo ,dunque posso vederlo come

ed essendo un’equazione di tipo vettoriale può essere scomposta lungo i e j

e in forma matriciale la possiamo vedere come

La matrice di trasformazione si costruisce mettendo per colonna le componenti di direzione lungo cui trasformo nel sistema originario ossia le componenti in x ed y di ξ e le componenti in x ed y di η. Prestando attenzione, possiamo notare che in MENTAT la tabellina (3x3) che nasce in corrispondenza delle trasformazioni, contiene per colonne le coordinate dei nuovi assi ed è esattamente costruita come si è costruita la matrice trasformazione [1]. Ciò che è stato fatto sino ad ora è valido per un solo nodo, ma se volessimo considerare una serie di nodi da trasformare come possiamo comportarci?

Andiamo quindi a considerare un vettore δ contenente tutti gli spostamenti globali, e cerchiamo di costruire la matrice di trasformazione T(la peculiarità di questa matrice è che sulla diagonale ha minori (2x2) i quali si presentano nella forma di matrice singolare per i nodi ove non ha un cambio di sistema di coordinate ed invece si presenta nella forma [1] per i nodi soggetti al cambiamento)

va precisato come il vettore risulta essere lo spostamento nodale su sistemi indipendenti su ogni nodo ad esempio come posso vedere sul nodo 1 non vi è stato alcun cambiamento, idem sul nodo 2 invece sul nodo 3 ho avuto una modifica del sistema secondo i versori ed che risultano essere versori propri del nodo 3.

Ora, procediamo col definire un’equazione di partenza del sistema elastico e vediamo come poter risalire alla costruzione di una nuova matrice di rigidezza . Si fa presente che nei passaggi seguenti essendo la matrice di trasformazione non simmetrica, si è moltiplicato ambo i membri dell’equazione per il termine trasposto della matrice trasformazione

In conclusione prendendo in esame l’equazione possiamo vedere come è stato definito un sistema elastico vincolato su assi che possono cambiare tranquillamente e quindi possono anche non essere più gli assi x ed y.

VERSIONE AVANZATA DEI LINK

Quando si creano modelli agli elementi finiti ci si trova spesso a dover utilizzare due strumenti di modellazione che, utilizzando la nomenclatura NASTRAN, risultano essere gli RBE2 e gli RBE3. L’ RBE3 risulta essere un vincolo distribuito o un vincolo di spostamento medio, risulta essere molto comodo; si va a definire un nodo di riferimento a cui andremo ad applicare un momento torcente. Con l’uso dell’ RBE2 invece considero un momento al nodo controllato e lo passo a tutti gli “n” nodi dipendenti ( si precisa che nell’ RBE3 si ha un nodo dipendente ed “n” nodi indipendenti), ma se tento di schiacciare la sezione dove è applicato l’RBE2 questa sezione non si schiaccia, dunque rendo la struttura rigida e rischio di modellare la struttura in esame in modo molto più rigido di quanto già non lo sia.

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Page last modified on May 29, 2013, at 10:00 PM EST