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Newton-RaphsonMethod

NEWTON-RAPHSON METHOD

Generalmente nel calcolo agli elementi finiti, ci si imbatte spesso in equazioni o sistemi di equazioni non lineari, dovute nelle strutture ad esempio a contatti monolaterali. Il metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione. Tale principio iterativo ci consente di arrivare a convergenza dopo pochi iterati (a seconda della precisione richiesta), trovando così una soluzione approssimata dell’equazione di partenza. Consideriamo un sistema lineare di n equazioni, nelle n componenti incognite del vettore u ⃗: R ⃗(u ⃗ )=F ⃗(u ⃗) dove: R ⃗:u ⃗→R^n,u ⃗∈C⊆R^n F ⃗:u ⃗→R^n,u ⃗∈C⊆R^n sono funzioni vettoriali di variabile vettoriale u ⃗. La soluzione di questo sistema di equazioni si può trovare scrivendo: R ⃗(u ⃗ )-F ⃗(u ⃗ )=r ⃗(u ⃗ ) dove r ⃗(u ⃗ ) rappresenta il termine residuo che poniamo pari al vettore nullo: r ⃗(u ⃗ )=0 ⃗ Tale scrittura ci permette di riassumere in un unico termine le variazioni in u ⃗ di forze e reazioni elastiche. In questo modo ciò che si ricerca è quel vettore u ⃗^* che renda il più possibile vicino il vettore nullo il residuo r ⃗(u ⃗^* ). Si avrà quindi un sistema di n equazioni vettoriali:

{█(█(█(r ⃗_1 (u ⃗^* )=0@r ⃗_2 (u ⃗^* )=0@r ⃗_3 (u ⃗^* )=0)@⋮)@r ⃗_n (u ⃗^* )=0)┤

che per essere risolto necessita dello sviluppo in serie di Taylor del vettore r ⃗(u ⃗^* ):

r ⃗(u ⃗^* )≅r ⃗(u ⃗^i )+J ̿_r (u ⃗^i )∙(u ⃗^*-u ⃗^i )+o(u ⃗^*-u ⃗^i )=0 ⃗

dove J ̿_r è lo Jacobiano della funzione residuo r calcolato al punto u ⃗^i, mentre u ⃗^* è la soluzione esatta che risulta incognita. Trascurando il termine di ordine superiore si ha che la soluzione risulterà non più quella esatta, ma un’approssimazione. Inoltre sostituendo alla soluzione esatta u ⃗^* un meno pretenzioso termine di iterato successivo u ⃗^(i+1), ottengo:

J ̿_r (u ⃗^i )∙(u ⃗^(i+1)-u ⃗^i )=-r ⃗(u ⃗^i )

Supponendo ora che lo Jacobiano sia una matrice non singolare, posso usare l’operatore gaussiano “\”, operatore che prende matrice e termini noti presenti in input e restituisce il vettore, ed è un solutore di sistemi lineari:

u ⃗^(i+1)=u ⃗^i-J ̿_r (u ⃗^i ) \ r ⃗(u ⃗^i )

Eseguita tale operazione è sufficiente fornire un valore iniziale di tentativo u ⃗_0 per poter avviare il processo iterativo. Le condizioni che devono essere soddisfatte affinché il processo iterativo funzioni sono le seguenti:

	La matrice Jacobiana deve esistere per ogni iterato; se cosi non fosse si avrebbe un piano verticale che non permetterebbe di trovare l’iterato successivo.
	La matrice  Jacobiana deve essere non singolare, altrimenti si avrebbe un piano orizzontale e ciò non permetterebbe l’utilizzo dell’operatore gaussiano. 

Poiché il processo iterativo, non giungerà mai alla soluzione esatta, ma sempre ad una soluzione approssimata, bisognerà fornire le condizioni di arresto del processo stesso:

	Condizione di arresto ai residui: la norma del residuo deve essere minore o al limite uguale ad una tolleranza prestabilita:

‖r ⃗(u ⃗^(i+1))‖≤ε_r con ε_r errore assoluto ammesso ai residui

	Condizione di arresto agli spostamenti: la distanza tra due iterati successivi deve essere minore o al limite uguale ad una tolleranza prestabilita: 

‖u ⃗^(i+1)-u ⃗^i ‖=‖δu ⃗^i ‖≤ε_u con ε_u errore assoluto ammesso agli spostamenti

Si può scegliere di far terminare l’iterazione quando è soddisfatta una delle due condizioni, ma solitamente si usa soddisfarle entrambe. Utilizzandone solo una potrebbe essere pericoloso: infatti funzioni molto pendenti presentano alti residui in corrispondenza di piccoli spostamenti, mentre funzioni poco pendenti presentano grandi spostamenti in corrispondenza di piccoli residui. "Attach:newtonraphson.pdf"

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Page last modified on February 07, 2014, at 10:44 AM EST