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Newton-Raphson

Si cerca con il metodo Newton-Raphson un’approssimazione della soluzione di un sistema non lineare di equazioni. Tale sistema può essere scritto:

                                                                F(u)=R(u)

Dove con u si intende una variabile vettoriale. La soluzione di questo sistema spesso è difficile da trovare, si cerca per questo un’approssimazione della stessa. Si può scrivere:

                                                              F(u)-R(u)=r(u)

r(u) si chiama residuo ed è sempre un vettore nella variabile vettoriale u. Si deve quindi cercare quel vettore u* che renda il più possibile vicino vettore nullo il residuo r(u*). Si deve tentare di risolvere il sistema di n equazioni vettoriali:

r1(u*)=0 r2(u*)=0 . . . rn(u*)=0

Per fare ciò si scrive il vettore r(u*) in serie di Taylor:

                                           r(u*) ≈ r(ui) + LT(ui) ∙ (u* - ui) ≈ 0

dove è già stato eliminato l’errore di ordine 2 o(u* - ui). La serie no sarà esattamente nulla per la soluzione u* , ma per un u diverso chiamato iterato successivo ui+1:

                                                     r(ui) = -LT(ui) ∙ (ui+1 - ui) = 0

LT(ui) contiene i gradienti delle n funzioni rn(ui) del vettore residuo:

                          LT(ui) = [█(⊽^T r1(▁(u^i ))@⊽^T r2(▁(u^i ))@…@⊽^T rn(▁(u^i )))]

Rappresenta quindi la matrice Jacobiana di r(u).

                                                      r(ui) + Jr (ui) ∙ (ui+1 - ui) = 0

Ora supponendo che la matrice Jacobiana sia non singolare utilizzo l’operatore gaussiano “\” al posto di trovare l’inversa di J che risulta difficilmente calcolabile.

                                                         (ui+1 – ui) = Jr (ui) \ (-r(ui))

Quindi per trovare l’iterato successivo:

                                                          (ui+1) = ui - Jr (ui) \ r(ui)

A questo punto basta fornire un valore iniziale u0 per avviare il processo iterativo. Devono essere tuttavia soddisfatte alcune condizioni affinchè tale metodo possa funzionare:

  • La matrice Jacobiana deve esistere per ogni iterato, se così non fosse si avrebbe un piano verticale che non mi permetterebbe di trovare l’iterato successivo.
  • La matrice Jacobiana deve essere non singolare, in questo caso si avrebbe un piano orizzontale e non sarebbe possibile adoperare l’operatore gaussiano.

Il processo iterativo non giungerà mai alla soluzione esatta, per questo motivo si devono introdurre delle condizioni di arresto:

  • Ai residui: la norma del residuo deve essere minore o uguale ad una tolleranza prestabilita.
                                             ‖▁r(▁(u^(i+1) ))‖≤ε_r

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  • Agli spostamenti: la distanza tra due iterati successivi deve essere minore o uguale ad una tolleranza prestabilita.
                                            ‖▁(u^(i+1) )-▁(u^i )‖≤ε_u

Solitamente si fa terminare l’iterazione quando entrambe le condizioni sono soddisfatte. Utilizzarne solo una infatti potrebbe essere pericoloso: si pensi a funzioni molto pendenti che presentano in corrispondenza di piccoli spostamenti alti residui o, al contrario, a funzioni poco pendenti che in corrispondenza di grandi spostamenti presentano piccoli residui.

File pdf:Attach:Metodo di Newton-Raphson WIKI.pdf

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