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ElementiIsoparametriciIntroduzioneIntegrazioneGaussiana

Introduzione agli elementi isoparametrici

Si introduce ora l'argomento degli elementi isoparametrici. A questa categoria appartengono moltissimi elementi, dal triangolare a 6 nodi, al quadrilatero 8 nodi, al quadrilatero 9 nodi e così via. Si analizza in dettaglio solamente il più semplice di questi elementi, ossia l'elemento isoparametrico quadrilatero 4 nodi (gli altri si costruiscono con vie analoghe a quelle che andremo a vedere, ma con funzioni di forma più complesse)

Per poter procedere è necessario tuttavia introdurre una procedura di integrazione numerica, dovuta a Gauss, utilizzata nel calcolo della matrice K. Si ha infatti che a differenza degli elementi triangolari tre nodi fino ad ora analizzati, nei quali tensioni e deformazioni restano costanti all'interno dell'elemento, a causa dell'interpolazione lineare degli spostamenti nodali, negli elementi isoparametrici non è possibile calcolare esattamente l'integrale

Occorre quindi procedere con integrazioni numeriche, le quali consentono di ottenere risultati esatti solo per geometrie particolari

Integrazione Gaussiana

Si supponga di voler integrare una funzione generica f(x) nell'intervallo -1, 1. Questa scelta specifica di estremi sembra essere riduttiva, tuttavia si nota che, mediante cambi di coordinate, è sempre possibile ridurre la generica integrale

1)

in un integrale tra -1 e 1. Si può infatti sostituire come segue :

ottenendo, essendo per

Si voglia allora stimare l'integrale 1) numericamente, attraverso il campionamento della funzione in un numero ridotto di punti. Si potrebbe ad esempio utilizzare la formula di Cavalieri-Simpson che afferma che

che in questo caso però fornisce risultati non ottimali. Si vuole pertanto trovare un set ottimale di parametri attraverso i quali valutare l'integrale. Tali parametri sono costituiti dai punti in cui si va a campionare la funzione, e i pesi con cui i campionamenti appaiono nella sommatoria che approssima l'integrale.

Purtroppo, partendo da una funzione generica, è difficile trovare i parametri di integrazione numerica ottimali, in quanto essi dipendono dal tipo di funzione. Tuttavia è possibile vedere come trovare i parametri ottimali per funzioni polinomiali, il che fornisce una soluzione al problema anche per funzioni più complicate, le quali possono essere sempre approssimate, tramite Taylor, con dei polinomi. Si considera dapprima il più semplice esempio di polinomio, ossia una funzione lineare (tralasciamo il banale caso di funzione costante).

Una generica funzione lineare è del tipo

e il suo integrale esatto tra -1 e 1 è

Si noti da subito che i termini con indice dispari (a1) si elidono. Si potrebbe allora pensare di valutare la funzione in un punto x1, e di andarsi a ricavare il peso w1 da associare a tale campionamento in modo da avere:

ossia che integrale numerico e esatto coincidano

Ricordando la forma di f(x) si ha :

che è una equazione in 2 incognite (x1 e w1), che non si è pertanto in grado di risolvere. Si hanno infatti infinite combinazioni x1 w1 che soddisfano tale condizione, in generale dipendenti dal particolare polinomio di primo grado, ossia dipendenti dai parametri a0 a1. Si vuole trovare, però, una soluzione che sia valida per ogni polinomio di primo grado, o, in altre parole, una combinazione di x1 w1 che faccia si che

resti valida anche cambiando a0 e a1. Perché ciò si verifichi, il residuo R dovrà essere stazionario in a0, a1, ossia si dovrà avere

Per funzioni lineari, quindi, sono parametri ottimali di integrazione il campionamento al centro del dominio di integrazione (x1 = 0) con peso 2, il che poteva essere intuito anche con considerazioni geometriche. Si è pertanto trovato un metodo di integrazione di una funzione qualsiasi, mediante campionamento in un solo punto, che fornisce risultati esatti nel caso di funzioni lineari.

Vediamo ora di ottenere i parametri di integrazione ottimali per un polinomio di terzo grado, che nella sua forma più generale è espresso da

In questo caso si nota subito che, dovendo essere R stazionario in a0,a1,a2,a3, si potranno scrivere 4 equazioni, ossia si riusciranno a determinare 4 parametri di integrazione, ossia due punti di campionamento x1,x2 e 2 pesi w1,w2, così che si possa scrivere

L'integrale esatto è

e pertanto si ottiene

le ultime sono equazioni non lineari, e quindi non banali. Moltiplicando la prima per x2 e sottraendo la seconda, e moltiplicando la prima per x1 e sottraendo la seconda rispettivamente, ottengo

che poste nella quarta forniscono

che poste nella terza danno infine

Si ha cioè che, per f(x) polinomio di terzo grado si ha

Procedendo in questa maniera per polinomi di grado via via maggiore si ha che campionando la funzione in 3 punti di Gauss si può integrare esattamente polinomi di 5°grado, con 4 punti polinomi di 7° grado, con con 5 di 9° e così via. Si ha cioè che con n punti di Gauss si può integrare esattamente polinomi di grado fino a 2*n-1

Si vede ora come utilizzare l'integrazione di Gauss per integrare una funzione su di un area, come nel caso dell'integrale

del caso di figura, che si vedrà essere di particolare interesse per gli elementi isoparametrici.

Si procede dapprima svolgendo l'integrale più interno (procediamo con il campionamento in due punti) ottenendo

e in seguito svolgendo l'integrale esterno, ottenendo

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Page last modified on August 13, 2013, at 01:10 PM EST