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AlgoritmoDiNewton-Raphson

Attraverso la teoria degli elementi finiti si possono risolvere sistemi di equazioni non lineari; nelle strutture possiamo avere sistemi non lineari dovuti, ad esempio, a leggi costitutive, o a contatti monolateri.

Consideriamo ad esempio una trave con appoggio in mezzeria staccato di un certo valore u, incastrata in un estremo, e caricata sull'estremo libero da una forza P. La rigidezza del primo tratto sarà sicuramente minore rispetto alla rigidezza del secondo tratto.

Un altro esempio di non linearità sono i grandi spostamenti ad esempio: se usiamo carichi molto grandi o travi cedevoli, la trave si deforma e torna ad allinearsi al carico. A maggior ragione se a<<l, dove a è la sezione della trave, e l è la lunghezza, la trave lavora a sforzo normale, la rigidezza flessionale P/delta; diventa un misto tra Mf e N, e k cresce al crescere del carico. Consideriamo ora un sistema di n equazioni lineari

nelle n componenti incognite del vettore u , con

Definiamo ora un termine residuo e lo poniamo uguale al vettore nullo

perciò posso scrivere anche

tale scrittura permette di riassumere in un unico termine le variazioni in u di forze e reazioni elastiche. Consideriamolo sviluppo in serie di Taylor

approssimiamo alla soluzione esatta eliminando l’errore, quindi diventa

ricaviamo così un legame tra

si può scrivere perciò

Partendo da un genera una successione di vettori che potrebbe convergere alla soluzione esatta ( METODO DI NEWTON )

Scrivere significa scrivere n equazioni nella forma

con l = 1, …… , n ; per espandere in serie di Taylor si prende come punto dell’intorno, e la singola equazione sarà :

Supponiamo

individuano un piano (tangente)

valutiamo l'intersezione col piano

si ottiene così una retta ( infinito alla uno soluzioni ). Prendendo le altre l componenti di r si arriva ad un'unica soluzione

dove

rappresenta la matrice di Jacobi da qui possiamo scrivere perciò

Da cui , supponendo non singolare

dove rappresenta il solutore gaussiano , operatore che prende matrice e termini noti in input e restituisce il vettore ( solutore di sistemi lineari ).

Equivalentemente

Supponendo calcolabili per ogni iterato , e non singolare per ogni iterato , dato un vettore di primo tentativo si può definire una successione che potenzialmente converge alla soluzione esatta

Qui c'è il file PDF di quanto scritto http://cdm.ing.unimore.it/.pmwiki/uploads/Main/Newton-Raphson_Simone_Guarino.pdf

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Page last modified on July 01, 2013, at 03:25 PM EST