Teoria elementi finiti

Da CdM_unimore.

Considerazioni Generali

Gli elementi finiti sono un metodo numerico per la soluzione approssimata di equazioni, in genere differenziali. Con questo metodo è possibile risolvere problemi di fluidodinamica, termici, elettrici, magnetici e strutturali. Nel nostro corso verrà impiegato esclusivamente nell'ultimo campo, per analizzare le tensioni e le deformazioni in componenti meccanici e per valutare la sensibilità delle strutture a variazioni di geometria e di costanti elastiche del materiale (in maniera da migliorare il comportamento meccanico del componente fino ad ottimizzarlo).
Si considera una struttura continua e schematizzata come piana, per esempio un dente d'ingranaggio caricato da una forza concentrata P che simula l'ingranamento.

Elemento finito.png

Il dente viene supposto incastrato al corpo della ruota dentata. La risoluzione analitica delle tensioni e delle deformazioni nel dente richiede la soluzione delle equazioni differenziali di equilibrio.
Conviene, dunque, discretizzare il componente, cioè sostituire alla geometria una struttura discontinua realizzata con una serie di aste che si collegano tra loro.
Tale modellazione, in realtà, non si dimostra adatta a descrivere un componente strutturale continuo poichè discretizzare il dente con delle aste significa sottostimare la rigidezza del dente stesso in quanto fra le aste ci sono ampi spazi vuoti che nella realtà non ci sono ed è ovvio che una struttura con spazi vuoti è meno rigida di una struttura piena. Occorre perciò sviluppare una teoria di discretizzazione più avanzata rispetto a quella reticolare.

Per questo motivo, si ricorre alla teoria degli elementi finiti che prevede la discretizzazione di un corpo continuo non più attraverso semplici aste monodimensionali ma tramite elementi finiti bidimensionali di varie geometrie. I tre vertici di ogni elemento finito triangolare si definiscono nodi. Si noti che ad ogni nodo possono concorrere più elementi.

Con questo meccanismo di discretizzazione, si riesce a costruire un sistema di equazioni algebriche che descrive la struttura, formato dal vettore dei termini noti ( forze ), dalla matrice dei coefficienti ( matrice di rigidezza ) e dal vettore dei termini incogniti ( spostamenti ).
La prima equazione del sistema algebrico rappresenta l'equilibrio di forza nodale del primo nodo in direzione x, la seconda l'equilibrio di forza nodale in direzione y, la terza del secondo nodo in direzione x e così via. In generale, il sistema è rappresentabile nella forma:

dove:

  • F = vettore dei termini noti contenente le forze nodali;
  • K = matrice di rigidezza;
  • f = vettore incognito degli spostamenti.

Si riassumono i punti chiave che descrivono la teoria degli elementi finiti:

  • Discretizzazione della struttura inizialmente continua, operazione comunemente definita meshatura o discretizzazione;
  • In funzione degli spostamenti nodali, che sono considerati come incognite, si calcolano tutte le grandezze di interesse (ad. es. le forze);
  • Si legano deformazioni e spostamenti differnziando questi ultimi;
  • Esprimere le tensioni in funzione delle deformazioni tramite la legge di Hooke;
  • Le tensioni (quindi anche le deformazioni e gli spostamenti)sono legate alle forze che ogni elemento applica sui nodi tramite un approccio energetico, sfruttando il teorema dei Lavori Virtuali.

Gli elementi finiti risultano essere un metodo numerico assai versatile per la soluzione approssimata di equazioni in genere differenziali. Limitandosi ai problemi strutturali, gli elementi finiti vengono impiegati per analizzare le tensioni e le deformazioni in componenti meccanici.




Elementi triangolari

Consideriamo elementi finiti piani triangolari:

Elemento finito triangolare.png


L'elemento finito triangolare è formato da 3 nodi ( ovvero i "vertici" ) i, j, k ( scelti in senso antiorario ) che possono essere in comune con altri elementi adiacenti. Ad ogni nodo possono essere applicate le forze nodali, scomposte lungo le direzioni x e y. Si hanno 2*3nodi, quindi 6 modi di caricare l'elemento cioè posso applicare all'elemento 6 forze diverse.

Campo degli spostamenti entro l'elemento

In un problema piano ogni nodo possiede due gradi di libertà, spostamento lungo x e spostamento lungo y. Siccome il nodo è puntiforme non si considera la rotazione. Visto che ogni triangolo possiede 3 vertici, l'elemento presenta 6 gradi di libertà cioè i 6 spostamenti dei tre vertici, ce ne sono 6 perché il triangolo si può deformare. Se il triangolo non si potesse deformare, i gdl sarebbero tre (le due traslazioni e la rotazione). Ne deriva che la matrice di rigidezza dell'elemento finito triangolare ha dimensione 6*6. Il vettore degli spostamenti nodali viene indicato con δ, mentre i singoli spostamenti dei tre nodi del triangolo i, j, k sono indicati con ui, vi, uj, vj, uk, vk , u lungo x e v lungo y. Si può scrivere quindi :

Questo è lo spostamento u in direzione x del nodo i in funzione delle coordinate del nodo stesso

Questo è lo spostamento v in direzione y del nodo i in funzione delle coordinate del nodo stesso


Risolvendo il sistema si trovano i valori di αi e si definisce l'area A dell'elemento finito triangolare:



Dove le tre funzioni Ni sono dette funzioni di forma. Queste sono polinomi del grado coerente con i gradi di libertà dell'elemento e assumono il valore 1 nel nodo i-esimo, 0 nei nodi j-esimo e k-esimo. Conoscendo gli spostamenti nodali si possono interpolare gli spostamenti all'interno dell'elemento e descrivere l'energia al suo interno. Determinando le tre funzioni di forma di ha:

Nella figura sotto, sono rappresentate le tre funzioni di forma N(x,y) che sono funzioni lineari sul triangolo cioè variando x e y, N varia linearmente. Ho tre funzioni di forma N, una per ogni vertice del triangolo, che vale 1 in quel vertice e 0 negli altri due. Osserva come spostandoci da un vertice all'altro, N vari linearmente.

Funzione di forma.png



La tecnica agli elementi finiti si basa quindi sugli spostamenti e segue il seguente schema:



Basandosi sugli spostamenti i vincoli introdotti devono impedire la rototraslazione e di conseguenza la labilità della struttura, per far sì che la matrice di rigidezza non sia singolare.


Differenziando gli spostamenti rispetto le direzioni x e y si avrà:

Deformazioni.png


Raggruppando le precedenti relazioni in forma matriciale si ha:


Epsmatrice.png

Occhio: la matrice 3x6 è moltiplicata davanti per 1/(2A) e 1/(2A)*[matrice 3x6] lo chiamiamo B. dove la matrice B ha dimensioni 3x6 e il vettore ε unisce le deformazioni generalizzate, dato che si comprende anche uno scorrimento. Si nota che le deformazioni all'interno di un elemento finito triangolare sono costanti poiché derivano dalla differenziazione di una funzione lineare, siccome le deformazioni sono le derivate degli spostamenti e gli spostamenti li abbiamo supposti lineari, derivando una cosa lineare ottengo una costante.. Questo fatto causerà di conseguenza uno stato tensionale costante che non permette agli elementi finiti di descrivere con accuratezza sensibili gradienti di tensione. Sotto le ipotesi che il componente sia in elasticità lineare e tensione piana, la relazione tra tensioni e deformazioni è del tipo:

Tensioni.png

E: modulo di elasticità longitudinale. G: modulo di elasticità tangenziale. Come già detto anche le tensioni risultano essere costanti all'interno dell'elemento finito. Come prima il vettore ε descriveva le deformazioni "generalizzate" ora il vettore σ descrive le tensioni "generalizzate".

La teoria degli elementi finiti prevede che siano applicate forze concentrate ai nodi dell'elemento. Se queste fossero applicate ad un modello analitico genererebbero uno stato tensionale assai complesso. D'altra parte, però, la medesima teoria prevede che lo stato tensionale all'interno dell'elemento sia costante. L'unica via per uscire da questa problematica è accettare che lo stato tensionale generato dalle forze nodali sia costante in media e non localmente. Questa operazione di media viene effettuata attraverso l'impiego del principio dei Lavori Virtuali. Calcoliamo quindi l'energia interna al triangolo dovuta alle tensioni e l'energia esterna dovuta alle forze nodali. I due termini di energia verranno poi eguagliati. Il termine forze equivalenti deriva proprio da questo passaggio. Il lavoro interno a un triangolo di area A vale:

Lavoro int.png

Il lavoro interno al materiale delle tensioni per le deformazioni. Il lavoro esterno dovuto alle forze nodali:

Lavoro est.png Il lavoro esterno è forza per spostamento nodale. F rappresenta il vettore delle forze applicate nei tre vertici del triangolo. uguagliando le precedenti:

F.png


in cui K è una matrice 6x6, chiamata matrice di rigidezza dell'elemento finito, e che rappresenta una versione in più dimensioni del coefficiente k_el che lega, in una molla, la forza al carico di schiacciamento (super-molla). Si noti che, applicando il teorema di reciprocità di Betti, si dimostra che la matrice di rigidezza è simmetrica e semidefinita positiva. Mesciando, io considero tanti elementini, per ogni elementino determino uno stato tensionale che considero come valore medio di tutti gli stati tensionali sui punti del triangolo che nella realtà se non facessi la mesciatura, avrebbero valori di tensioni tutti diversi tra loro.