Teoria Instabilità

Da CdM_unimore.

Problemi di instabilità di strutture elastiche(BUCKLING)

Quando si ha a che fare con elementi soggetti a forze di compressione (assiali), la sollecitazione principale della quale tenere conto è espressa semplicemente dal rapporto F/A. Tuttavia più la struttura diventa snella più il ruolo della geometria e della rigidezza flessionale diventano cruciali nell'assicurare la resistenza. Per aste relativamente lunghe soggette a carichi compressivi applicati lungo la dimensione maggiore della stessa si verifica il cosiddetto 'buckling'(ingobbamento,imbozzamento), ossia un fenomeno di collasso, sebbene l'effettivo sforzo di compressione sia minore dello sforzo massimo che il materiale del membro è capace di sopportare. Questo fenomeno viene anche detto instabilità a carico euleriano (o di punta), da Eulero che la trattò per la prima volta in modo compiuto nel 1744.


Si tratta di studiare una struttura classica soggetta a problemi di instabilità.

Consideriamo una trave di lunghezza l con rigidezza assiale a sforzo normale (EA) infinita ma con una rigidezza flessionale definita (EJ),dove E è il modulo elastico del materiale e J il momento d'inerzia della sua sezione A. Se facciamo una analisi agli elementi finiti della trave,l'unica risposta che otteniamo è una compressione della trave nulla con A → ∞; con A finito ho: Questa è l'unica soluzione possibile in caso di linearità.

Si suppone ora di introdurre una non linearità di tipo geometrico, ossia si considera l'equilibrio non più sull'indeformata, ma sulla deformata. Si va ora a studiare l'equilibrio su una configurazione deformata generica. Definito l'asse x con x=0 in corrispondenza del carrello e x=L in corrispondenza della cerniera,si considera la generica deformata con la funzione spostamento u(x).

Carico di punta.PNG


La reazione vincolare è una forza P assiale applicata sulla cerniera. Si considera la condizione di equilibrio sul concio di trave, sotto ipotesi di non linearità. Avrei con k che dipende dallo spostamento (la non linearità del problema risiede proprio in questa dipendenza della matrice di rigidezza dallo spostamento). Il concio è sollecitato a sforzo normale (componente parallela al concio) e a momento flettente causato dal braccio che la forza P ha rispetto al concio deformato. Tale momento flettente può essere anche visto come una coppia di trasporto dovuto alla traslazione della forza che agisce lungo l'asse della trave indeformata sul concio deformato.

Def Instabilità.png

Il concio è soggetto a momento flettente, con braccio proprio pari allo spostamento u(x) che subisce la trave ad una x generica. I momenti di trasporto agli estremi del concio, siccome infinitesimo, tendono ad uguagliarsi, ed è quindi possibile definire un unico Mf il quale agirà da entrambi i lati del concio soddisfando l'equilibrio dello stesso. Si sceglie una convenzione sul segno del momento: positivo se le fibre tese sono verso la condizione indeformata (ossia verso l'alto in figura):


Sull'indeformata Mf risulta nullo poichè u(x)=0 .

Il concio acquista una curvatura

dove il meno giustifica la curvatura della trave, ossia con concavità rivolta verso l'interno, verso l'asse che rappresenta l'indeformata. Si può quindi scrivere una nota equazione differenziale della meccanica(corrisponde all'equazione dell' oscillatore armonico non smorzato ):

  ha soluzioni nella forma 

le condizioni al contorno (condizioni di Dirichlet omogenee) ci indicano di considerare solo la soluzione legata al seno e di evitare la soluzione banale . Sostituendo la funzione e la sua derivata nell'equazione sopra, si ottiene:



Inoltre ci si interessa delle soluzioni valide per ogni x, quindi lungo tutto la trave, per cui, per la legge dell'annullamento del prodotto si ha da cui

tuttavia se la prima condizione al contorno a x=0 mi costringe a non considerare il termine con il coseno, deve anche essere nullo lo spostamento per x=L. Deve essere quindi:


Ossia quando con n intero;

soddisfatta qualora con n=1,2,3,...

per n=1 si ottiene il carico critico secondo la Formula di Eulero


e la deformata vale

  
Forma di instabilità secondo Eulero.jpg

Inserendo, ad esempio, il parametro n=2 all'interno della formula del carico critico ed andando a sostituire nella deformata si osserva che essa non cambia in intensità. Essa infatti rimane sempre a meno del seno, il quale ne modula solo la "forma" visto che va da -1 a 1. Ci si convince di ciò calcolando il valore di per n=2 in corrispondenza di . Si ottiene infatti il valore nullo da cui si deduce che la deformata della trave sarà una "S", proprio come la funzione seno nel periodo compreso da 0 a .


Se la struttura viene sollecitata con il carico critico P_crit allora la soluzione dell'equazione differenziale, che rappresenta l'equilibrio della struttura, è soddisfatta per ogni valore di , quindi l'entità della deformata non è definita. Si noti che questa particolare condizione corrisponde ad un moto rigido, ovvero si ha movimento della struttura pur verificando le condizioni di equilibrio elastico della stessa. Questa affermazione è confermata dal Marc il quale, se il carico raggiunge il valore critico ad un certo step di calcolo, restituisce l'errore "2004" caratteristico della presenza di moti rigidi nel modello.

Questa soluzione diversa dalla compressiva non è assolutamente analizzabile in condizione di linearità, infatti non si avrebbe sotto questa ipotesi momento flettente. Per analizzare l'instabilità a carico di punta con software FEM è quindi necessario disporre di un solutore di tipo non lineare. Esempio di instabilità reale: uno spaghetto non rompe per compressione, si rompe per flessione dato che la forza ha braccio non nullo sul suo asse.

Il carico non è funzione della perturbazione della struttura. Se prendo la trave considerata e una trave leggermente storta e imposto l'equazione ed arrivo alla stessa che determina il carico critico, poiché se di aggiunge una perturbazione iniziale si ha u(x)+v(x). La perturbazione iniziale v(x) è propria della struttura nella sua condizione scarica¸ e in particolare alla quota di curvatura è associato un momento flettente nullo.

Riscrivendo l'equazione di equilibrio del concio elementare includendo la perturbazione iniziale v(x) si ottiene l'equazione differenziale

le cui soluzioni sono definite dalle soluzioni dell'omogenea associata - ossia del sistema imperturbato - sommate ad una soluzione particolare finita non nulla. Essendo la condizione di instabilità associata alla forma delle soluzioni dell'omogenea associata, non è funzione delle perturbazioni della struttura. Quando il carico è quello critico, il moto di flessione può essere aggiunto senza variazione della sollecitazione e questa situazione è una sorta di "spartiacque" tra le situazioni sub-critiche e quelle super-critiche.


Fase Sub-critica → Equilibrio stabile

 

La classica appendice a questa trattazione è la pallina nella conca. In condizioni di equilibrio stabile se si applica una perturbazione, la pallina tornerà nella configurazione di equilibrio originaria.

Per mantenere la struttura nello stato deformativo, si devono applicare delle forze eccitanti sulla trave; se si annullano essa tornerà nella configurazione di trave rettilinea.


Fase Super-critica → Equilibrio instabile


Perturbando il sistema (stabile), esso degenera in una configurazione di instabilità senza ripristinare autonomamente la condizione originaria di stabilità.

Per mantenere la struttura in forma deformata ed evitare che il sistema degeneri in instabilità elastica è necessario applicare azioni frenanti sulla struttura.


Immagine1.png

In generale

Si supponga di portare la trave in condizione deformata con l'ausilio di due guide fittizie nella forma  : se il carico risulta minore di P critico le reazioni di contatto delle guide sono tali da mantenere la trave incurvata; se il carico è maggiore del carico critico le azioni di contatto delle formelle sono tali da frenare il curvamento.

Il valore dei carichi critici si abbassano quando ho membri lunghi e con ridotta rigidezza flessionale ( ad esempio le cosìddette travi snelle), infatti nella relativa formula la lunghezza della struttura compare a denominatore mentre la rigidezza flessionale a numeratore. Va ricordato che l'instabilità Euleriana si verifica con carichi compressivi e non trattivi, in quanto il sistema sarebbe sempre stabile. Un parametro lunghezza da considerare è la lunghezza libera di inflessione che è la distanza minima tra due punti dove si annulla il momento flettente o, in altre parole, la distanza minima tra due punti di flesso della deformata. Riassumendo il carico critico è funzione delle caratteristiche elastiche della struttura e del vincolamento (il quale determina la lunghezza libera di inflessione). Si vedano i seguenti esempi.


Fig: esempi di vincolamento:

  • Se si considera un vincolamento con doppio pendolo la deformata a carico di punta mostra tangenza in prossimità dei vincoli agli estremi. Si osservano punti di flesso a 1/4*L e 3/4*L, quindi tra i due flessi ho L/2=L0 che rappresenta la lunghezza libera di inflessione.

Chiamata L la lunghezza della trave il carico critico risulta :



  • Un altro caso frequente è la trave libera in alto e incastrata all'estremità inferiore, caricata da un carico verticale nell'estremo libero. La deformata sotto l'azione del carico P (che rimane verticale e non si orienta lungo l'asse della trave, altrimenti cambierebbe il problema) mostra un unico punto di flesso in corrispondenza dell'estremità caricata.

Per individuare un secondo punto di flesso è necessario costruire un' altra trave ,speculare alla prima rispetto all'incastro. La lunghezza libera di inflessione vale quindi 2*L e si ottiene un carico critico:

 


Instabilità.jpeg

esempi di vincolamento

Instabilità di una struttura generica

Nel caso in cui la struttura non sia una trave, si utilizza quanto esposto prima come linee guida per l'analisi di instabilà.

L'instabilità di strutture generiche, sottoposte a compressione, si verifica nel caso in cui abbiano piccolo spessore e ridotta rigidezza flessionale. Un esempio di componenti talvolta soggetti ad instabilità sono le piastre. Si pensi di realizzare quadrilatero composto. Se carico la struttura con un carico compressivo P lungo una diagonale, una volta depurata dei moti rigidi, essa tenderà ad assumere una forma romboidale. Per rinforzare la struttura è possibile agire in 3 modi:

  • Si inserisce un cavo che lega le cerniere giacenti sulla diagonale non caricata. E' possibile inserire un cavo perché sappiamo che esso verrà sollecitato a trazione e quindi non sarà soggetto a problemi di instabilità.
  • Si inserisce un puntone lungo la diagonale caricata. Tale puntone deve essere analizzato prevedendo fenomeni di buckling in quanto è sottoposto a compressione. Non è possibile utilizzare un cavo perché è un componente che non reagisce a compressione, o meglio ha carico di instabilità Euleriana nullo.
  • Si accoppia una lastra alla struttura tramite, ad esempio, dei rivetti o una saldatura. Anche in questo caso è necessario verificare se la struttura presenta o meno fenomeni di instabilità perché è piuttosto flessibile. Questa soluzione viene talvolta adottata quando non si conosce la direzione del carico.
Quadrilatero.jpg

Gestione dei problemi di Instabilità con gli Elementi Finiti

Si è visto come in generale la problematica del buckling per generiche strutture sia complessa. Utilizzando programmi agli elementi finiti che riescono a risolvere problemi non lineari, è comunque possibile ottenere utili informazioni sul comportamento ad instabilità.

Come fa un codice agli elementi finiti a modellare il problema fisico dell'instabilità?

Consideriamo l'esempio di un'asta verticale incastrata in basso e libera in alto, sottoposta ad un carico verticale crescente in modulo. Si analizza lo spostamento W verticale e lo spostamento V orizzontale dell'estremo libero al crescere del carico. Di seguito sono riportate le figure relative alla deformata della trave causata dal carico di punta, gli spostamenti w e v in funzione del carico e infine l'ipotetica curva di carico sperimentale di una struttura con lieve perturbazione.

Carico spostamenti3.jpg

Nota: Clicca sull'immagine per visualizzare in modo più definito le figure.

NdEB: annotarsi nel ripasso piccole correzioni alla figura: in fig. (b) la curva carico spostamento dovrebbe passare per l'origine, e la tangente da destra al punto di biforcazione dei comportamenti post-critici e stabile/instabile dovrebbe essere orizzontale; in fig. (a) la trave dovrebbe approcciare il punto di incastro con tangente verticale; in fig (d) il comportamento tipico di strutture perturbate prevede un avvicinamento asintotico.

Si osserva che per carichi inferiori al carico critico lo spostamento verso il basso tende ad aumentare linearmente al crescere del carico e lo spostamento laterale risulta nullo. Queste condizioni confermano che il sistema lavora ancora in condizioni lineari. In corrispondenza del carico critico, secondo la teoria, lo spostamento V risulta indefinito, quindi può assumere qualsiasi valore. Anche W può assumere qualsiasi valore, in virtù del fatto che la trave rimane della stessa lunghezza a meno delle deformazioni subite.

Quanto detto risulta vero se si considera il caso ideale trattato nella teoria. Le strutture reali invece mostrano diversi comportamenti "post-carico critico". In particolare si possono avere comportamenti post-critici di tipo Stiffening (k>kcrit=0, k tangente in 1gdl o autovalore di matrice tangente in ngdl) oppure Softening (k<kcrit=0), evidenziati dalle caratteristiche in figura a e b rispettivamente. Una volta raggiunto il carico critico, se non si aumenta più il caricamento, il comportamento di tipo stiffening (attraverso caratteristiche da noi non considerate per semplicità) può far tornare il sistema alla condizione di comportamento stabile anche se nonlineare. Al contrario per sistemi softening una volta raggiunto il carico critico, nel caso il carico non venga prontamente rimosso ("prontamente" è un concetto proprio della dinamica, si considera l'effetto temporaneamente stabilizzante delle azioni inerziali) si ha il collasso della struttura.

In ogni caso le simulazioni FEM quasistatiche nonlineari evidenziano il raggiungimento dello stato di criticità della condizione di carico con

  • iterazioni newton-raphson che faticano a raggiungere la convergenza;
  • rilevazione della condizione di singolarità della matrice di sistema (matrice di rigidezza tangente).

Una volta raggiunto il carico critico, il problema agli spostamenti risulta infatti indefinito (sottodefinito,=non ammette più soluzione unica).

Si nota inoltre che nel modello utilizzato per introdurre la teoria Euleriana il moto post-stabilità è perfettamente ortogonale alle condizioni del moto in pre-instabilità. Nelle strutture reali invece, spesso non si ha questo perfetto disaccoppiamento. L'algoritmo di predizione del carico critico utilizzato dai codici FEM (linearized pre-buckling, sotto presentato) calcola in maniera precisa il carico critico quanto più il moto del modello ben approssima la teoria. Se il moto si discosta molto dalle condizioni di ortogonalità ortogonale, occorre far attenzione perché il calcolatore spesso non fornisce risultati esatti.

Un esempio di struttura con moti pre e post instabilità accoppiati è tappo dei succhi di frutta (in bottiglia di vetro, o delle conserve in generale). Premendo la superficie con carichi crescenti si osserva un primo comportamento stabile anche se nonlineare, poi si arriva alla condizione di instabilità in corrispondenza della quale il sistema può evolvere senza variazione di carico in entrambe le direzioni. Aumentando ulteriormente il carico verso il basso il sistema torna, dopo una breve transizione instabile, a trovarsi una configurazione stabile sotto carico.

inserire figura


inserire grafici

Analizziamo ora come un programma FEM calcola il carico di instabilità di una struttura. Si ricorda che in generale vengono forniti risultati esatti nel caso di travi soggette a carico di punta, mentre si possono avere avere errori notevoli in altre strutture più complesse.

La previsione del carico di instabilità passa attraverso la definizione del sistema in due configurazioni caratterizzati dai carichi e . La matrice di rigidezza in questo caso varia con la configurazione del sistema e quindi con l'entità del carico applicato. In particolare si hanno e , rispettivamente nei due casi.

Per semplicità si considera inizialmente un sistema monodimensionale dove la matrice di rigidezza rappresenta la tangente alla curva . Essa è costante nel caso di sistema lineare, mentre varia trattazione corrente di sistema non lineare. Si considera inoltre il caso in cui i carichi e corrispondono a due scalature diverse dello stesso carico , ovvero hanno stessa forma e stesso punto di applicazione ma diverso modulo.



La variazione della matrice di rigidezza nel passaggio dal carico al carico è . Per cui la matrice di rigidezza può essere altresì definita come:

;

Ipotizzando che la matrice di rigidezza tangente varia linearmente con il carico, si ottiene che la matrice in corrispondenza del carico varrà


La ricerca del carico critico si traduce ora nella ricerca del che comporta instabilità. Tale fenomeno si manifesta quando, pur restando la struttura in equilibrio, lo spostamento w può assumere una molteplicità di configurazioni ( configurazioni, ma non propriamente qualsiasi) per la data condizione di carico. In termini algebrici si ha che

ove P è una funzione vettore di variabile vettore, la derivata è da intendersi come derivata direzionale (direzione w), e lo zero è uno zero vettore. (NdEB, non precisate a lezione..)

Questa condizione corrisponde, nel caso monodimensionale, all'annullamento della derivata e quindi all'annullamento della rigidezza. In sistemi discretizzati a n ggdl, invece, si ricerca il per cui


ossia:


Questa forma corrisponde alla ricerca degli autovalori del problema agli autovalori generalizzato. Gli autovalori corrispondono a termini del tipo:


tali per cui si annulla il determinante sopra. Gli autovettori associati agli autovalori rappresentano i moti di instabilità del sistema. Generalmente i programmi FEM procedono ponendo corrispondente alla condizione di sistema scarico, ossia .

Per cui ci si riconduce alla condizione:


Se ad esempio venisse calcolato l'autovalore significherebbe che per ottenere il carico critico occorre aumentare di 2.5 volte il carico .

Si noti che l'approccio qui introdotto è un'interpretazione di tipo secante del'algoritmo di predizione dell'instabilità utilizzato nei codici FEM, in quanto di individua la matrice di rigidezza a seconda del carico "muovendosi" su una retta tracciata passando per le due configurazioni di riferimento scelte.


Esempio con Maxima. [1]

Attraverso tale listato Maxima si è voluto evidenziare il calcolo del carico di instabilità, attrverso gli approcci tangente e secante, di una struttura composta da un'asta infinitamente rigida, caricata a compressione e vincolata come in figura. Caso non trattato però nella sezione teorica.

Trave instabilità.gif