Teoria 8

Da CdM_unimore.

PUNTI DI GAUSS - QUADRATURA

(PA pag 152)

Fig.1-Metodo di integrazione a istogrammi

La quadratura Gaussiana è un metodo di integrazione numerica. Finora abbiamo incontrato a lezione gli elementi finiti triangolari, dove l’integrazione numerica è banale perché sono presenti solo funzioni costanti. Negli elementi isoparametrici a quattro nodi invece, l'integrazione numerica non è così banale.

La maniera standard per effettuare questa integrazione è quella della quadratura di Gauss, metodo di integrazione numerica attraverso i punti di Gauss.

Il metodo di Gauss permette un’integrazione solo sul dominio [-1,1] partendo dal caso monodimensionale. Nel caso in cui avessi, per esempio, un intervallo definito da [-2,3] dovrei applicare un cambio di variabili per ricondurmi all'intervallo considerato da Gauss.


Per ricavare l'integrale approssimato di una funzione potrei prendere il suo valore valutato in un punto x1, scelto a sentimento ma distante dagli estremi, e moltiplicarlo per la base. in questo modo otterrei un’area rettangolare che approssima l’area sinistra dell’integrale. Si può procedere analogamente per la parte destra ottenendo quindi un’integrazione per istogrammi, che è il più banale metodo che possa essere eseguito: si prende il valore della funzione in un punto (altezza h) e la base (b) del rettangolo per approssimare l'integrale.(Fig.1).

Gauss afferma che l'integrale della funzione può essere visto anche come la sommatoria dei valori della funzione calcolati in determinati punti, moltiplicati per una funzione peso wi (weight).

L’idea del peso non corrisponde esattamente alla base, quindi questo metodo è un po’ diverso da quello a istogrammi.

Gauss ha sviluppato questa tecnica con dei polinomi e per alcuni di essi la sua tecnica fornisce la soluzione esatta. Questo metodo servirà quindi per calcolare la matrice di rigidezza degli elementi isoparametrici per i quali le teorie di campo non sono polinomiali. C’è quindi un buco matematico per applicare l’integrazione gaussiana agli elementi isoparametrici che non sono polinomi ma questa tecnica viene comunque impiegata perché pare che funzioni.

Consideriamo come esempio il polinomio:

Siccome il polinomio f di primo grado dipende da due costanti a0 e a1, sembra logico considerare un unico punto x1 nel quale calcolare il polinomio f, ed un corrispondente peso w1. In altri termini, i due gradi di libertà a0 e a1 del polinomio trovano il loro parallelo nelle due variabili da definire x1 e w1 dell'integrazione numerica.

Calcoliamone quindi il suo integrale con estremi -1 e 1:

Devo quindi definire quanto vale il peso e dove prendere la x ottimale, affinchè il risultato sia esatto. Introduciamo un residuo R che poi porremo uguale a zero.



Si hanno quindi due incognite: w1 e x1, ma solo un’equazione. Pongo x1=1 e ottengo:

da cui

Questa strada non convinceva Gauss in quanto w1 dipende dal polinomio di partenza (tramite a0 e a1, come si può vedere dall'ultima relazione trovata). Gauss volle invece rendere indipendente la funzione peso dal particolare polinomio iniziale. Per porre questa indipendenza si pone uguale a zero la derivata del residuo rispetto ad a0 ed a1.

Eseguo le derivate parziali:

Da cui si ricavano w1=2 e x1=0.

Si nota che i valori ottenuti sono indipendenti da a0 ed a1 e quindi consentono di calcolare numericamente l'integrale per ogni polinomio generico di primo grado. Come si può vedere per ricavare le due incognite w1 e x1 sono state necessarie tre equazioni ( due equazioni di insensibilità ad a0 ed a1 ed una equazione che imponga che il residuo R sia nullo) , ciò è dovuto al fatto che essendo le equazioni omogenee, per avere una soluzione unica necessito di una relazione supplementare. Questa tecnica vale per funzioni non troppo distanti da un polinomio.

Consideriamo ora un polinomio di terzo grado:

Siccome il polinomio f di terzo grado dipende da quattro costanti ai, sembra logico considerare due punti xi nei quali calcolare il polinomio f, e due pesi wi.

Anche in questo caso integriamo e applichiamo la trasformata di Gauss

Ho 4 incognite:

  • w1
  • w2
  • x1
  • x2

(avrò quindi 4 gradi di libertà) e una sola equazione, ho bisogno, quindi, di equazioni aggiuntive. Riscrivo l'equazione del residuo e lo derivo rispetto ad a0, a1, a2, a3.





Ora si ha un sistema di 5 equazioni e 4 incognite e riusciamo a trovare i valori di w1,w2, x1, x2.


Come si vede dai risultati ottenuti per un polinomio di terzo grado basta sommare i valori della funzione in x1=1/√3 e x2=-1/√3 per calcolarne il suo integrale.

Osservazione: La quadratura secondo Gauss con due punti di integrazione produce un risultato esatto anche per un polinomio di secondo grado. In generale, si può dimostrare che la quadratura tra -1 e 1 secondo Gauss basata su n punti di Gauss produce un risultato esatto per un polinomio di grado 2n-1 o minore.

Sulla dispensa di progettazione assistita p.158: punti fino a 4 di Gauss. p.159: formula 37 per caso bidimensionale (x,y) con Gauss.

ELEMENTI ISOPARAMETRICI

(PA pag. 161)

Gli elementi isoparametrici si basano su una teoria che permette di ottenere elementi a lati curvi, particolarmente adatti a ricopiare bordi e superfici curve di componenti meccanici. Oggetto del nostro studio saranno, tuttavia, elementi finiti piani a quattro nodi aventi lati rettilinei.

SPOSTAMENTI

Fig 2.png

Consideriamo un elemento a 4 nodi in coordinate xy, come descritto in figura.

Si può passare da una generica geometria distorta dell'elemento a una geometria quadrata compatibile col metodo di gauss. Le funzioni per passare dalla geometria dell'elemento distorto al quadrato e le funzioni impiegate per interpolare gli spostamenti all'interno dell'elemento vengono scelte tra loro uguali. La cordinata globale x viene descritta in termini di coordinate globali nodali tramite funzioni delle coordinate locali e , lo stesso ragionamento vale per la coordinata y:

In modo simile lo spostamento globale u viene descritto in termini degli spostamenti globali nodali , tramite funzioni delle coordinate locali e , discorso analogo vale per lo spostamento globale v:

DEFORMAZIONI p.164

Si esaminano ora le problematiche che si incontrano nel trovare

la difficoltà risiede nel calcolare la derivata parziale di U rispetto ad x. Posso quindi scrivere la deformazione come:

vediamo ora quali sono i termini facilemte calcolabili e quelli che non lo sono:

  • è facilmente calcolabile
  • no
  • si
  • no

ma poichè è calcolata per y costante mentre è calcolata per costante

→ sono come due curve di livello diverse con due vincoli diversi!!!

Si ha inoltre:

Dove:

  • è facilmente calcolabile
  • no
  • si
  • no
  • si

E Infine:

Dove:

  • è facilmente calcolabile
  • no
  • si
  • no
  • si


Osservazione Mesh
P040414 22.42.png

Se si volesse rendere con delle curve di livello le tensioni in caso di elemento meshato, si dovrebbe tener conto solamente del bordo di tale elemento, e questo prechè le linee interne mi darebbero fastidio sulle frange. Per capire se un lato è di bordo, ragionando sul campo piano, lo si pensa diverso rispetto ad uno interno per il seguente motivo: se si percorressero i triangoli di meshatura uno per volta, la linea di bordo sarebbe quel tratto percorso una volta soltanto. Tenendo presente tale ragionamento, per disegnare il nostro pezzo elementare con solo le linee di bordo utilizzando la programmazione si potrebbe ipotizzare un ciclo if il quale, qualora dovesse ottenere due linee sovrapposte, non le disegnerebbe.

ESERCIZIO CON CASTIGLIANO : PORTALE CARICATO DA UNA FORZA NORMALE P

NB: le curvature agli angoli nell'immagine di cui sopra non sono correttissime...


  • =...
  • =...
  • perchè per ragioni di antisimmetria il punto centrale non va ne su ne giù.

BIBLIOGRAFIA

  • Dautrig Cottle Numerical Analysis
  • Dispensa di progettazione assistita di strutture meccaniche - Prof. A. Strozzi