Teoria 6

Da CdM_unimore.

Assemblaggio della matrice di rigidezza K dell’elemento nella matrice di rigidezza della struttura

Fare l’assemblaggio vuol dire inserire i 6*6 numeri contenuti nella matrice di rigidezza dell’elemento nella matrice di rigidezza globale della struttura.

Chiamiamo la matrice di rigidezza del singolo elemento ELK (6 x 6), mentre la matrice di rigidezza globale della struttura TOTK (2*Nodes x 2*Nodes) (dove Nodes è il numero di nodi della struttura).

Se per esempio consideriamo l’elemento triangolare di vertici 8, 10, 5, la matrice di rigidezza dell’elemento sarà:

Triangolo nodi 8,10, 5 .jpg Matrice locale.png

All’elemento K3,1 corrisponderà l’elemento della matrice di rigidezza globale di posizione 19,15.

NOTA: gli elementi riga corrispondono agli elementi colonna grazie alla simmetria della matrice di rigidezza (teorema di Betti)

Subroutine di riempimento del vettore puntatore IPOINT

Questo vettore è una specie di Stele di Rosetta che memorizza nelle sue sei caselle, che corrispondono ai sei indici locali, i sei indici globali.
Il vettore NVERT(3,NELEMS) definisce la topologia degli elementi finiti. In particolare in esso vi sono i nodi ' locali ' di ogni singolo elemento finito. Attraverso il puntatore POINTER ( o IPOINT) si memorizzano le coordinate globali.

Ricapitolando, IPOINT indica la coordinata globale nella matrice rigidezza della struttura, Nvert (numero vertice,numero elemento) indica il nodo a cui ci si sta riferendo, esso viene poi moltiplicato secondo ai casi (2-1 o 2) per passare dalle coordinate locali (riassunte in Nvert) a quelle globali.

SUB POINTER.PNG

      SUBROUTINE POINTER(Nelems,Nelem,Nvert, IPOINT)
DIMENSION IPOINT(6), Nvert(3,Nelems)
IPOINT(1)=Nvert(1,Nelems)*2-1
IPOINT(2)=Nvert(1,Nelems)*2
IPOINT(3)=Nvert(2,Nelems)*2-1
IPOINT(4)=Nvert(2,Nelems)*2
IPOINT(5)=Nvert(3,Nelems)*2-1
IPOINT(6)=Nvert(3,Nelems)*2
RETURN
END

Subroutine Assemblaggio

Ora scriviamo la subroutine che effettua l’assemblaggio. Avendo memorizzato le coordinate globali nel puntatore IPOINT, è ora possibile allocare correttamente gli elementi della matrice locale ELK nella matrice di rigidezza globale TOTK. In particolare si spazza la matrice con due cicli DO che fanno scorrere gli indici correnti del puntatore e della matrice ELK.

Si può notare come l'operazione esguita preveda: TOTK (nuovo) = TOTK (vecchio) + ELK (aggiornamento).

SUB assembl.PNG


      SUBROUTINE ASSEMBL(Nodes, ELK, IPOINT, TOTK)
DIMENSION ELK(6,6), TOTK(2*Nodes,2*Nodes)
DO 10, i10 = 1, 6
DO 20, i20 = 1, 6
TOTK(IPOINT(i10),IPOINT(i20))=TOTK(IPOINT(i10),IPOINT(i20))+elk(i10,i20)
20 ENDDO
10 ENDDO
RETURN
END

Riempimento del vettore delle forze nodali

La struttura che andiamo a cercare è del tipo:

  F = K∙δ                             

dove:

   * F è il vettore delle forze nodali (che sotto indicheremo con FORCE)
* K è la matrice di rigidezza globale (che sotto indicheremo con TOTK) (di ordine: 2*Nodes, 2*Nodes)
* δ è il vettore degli spostamenti nodali


Consideriamo adesso la seguente struttura:

Struttura.png

Vediamo che i nodi caricati sono i nodi 4, 5, 7

in particolare su 4 agisce una forza verticale diretta verso il baso di intensità pari a 6.5, su 5 agisce una forza orizzontale diretta verso sinistra di intensità pari a 2.3 e sul nodo 7 agiscono 2 forze una in senso orizzontale ed una in senso verticale, dirette verso destra e verso l’alto di intensità non specificata.

Come spesso accade, si può notare che i nodi caricati sono in numero molto minore rispetto al totale: infatti quando si ha meshatura fitta i nodi interni non dovrebbero essere caricati, a meno che su di essi non agiscano forze inerziali (si parla allora di caricamenti di campo). Nel caso in cui i carichi agenti siano solamente di bordo, come accade nella meccanica classica, il numero dei nodi caricati è piccolissimo e quindi conviene usare un vettore puntatore che concentri l'attenzione solo sui nodi caricati, in modo da non dover ripetere operazioni su nodi scarichi.

Il numero dei nodi caricati è (in questo caso) IFMAX= 3 e il nostro vettore puntatore è quindi definito come IFxy(IFMAX). Quest'ultimo è un vettore a 3 posti corrispondenti ai nodi caricati, quindi nel nostro caso nei 3 posti troviamo 4, 5, 7. Poichè ogni nodo può essere caricato lungo x e lungo y allora per inserire i valori di tali forze usiamo la matrice Fxy(2,IFMAX). Nel nostro caso Fxy è una matrice 2x3 dove ogni colonna identifica le forze agenti su un nodo. Allora se il puntatore IFxy contiene i nodi 4 ,5, 7 (in questo ordine) si avrà:


 Fxy(1,1)=0.                     (perché il 1° nodo, cioè 4, è caricato lungo y e non lungo x) 
Fxy(2,1)=-6.5
Fxy(1,2)=-2.3
Fxy(2,2)=0.
Fxy(1,3)=…….
Fxy(2,3)=…….

Tali forze devono essere inserite correttamente (cioè con il giusto indice di riga) nel vettore FORCE dei termini noti. Per allocare correttamente gli elementi del vettore FORCE utiliziamo due funzioni INDX e INDY che trasformano i nodi locali in nodi globali. Nel nostro caso IFxy è formato dai nodi 4, 5 e 7. Allora IFxy(1) è il nodo 4, IFxy(2) è il nodo 5 e IFxy(3) è il nodo 7. Usando INDX = IFxy(1)*2-1 (per la direzione x) e INDY= IFxy(1)*2 (per la direzione y) il nodo 4 sarà associato alle righe 7 e 8 del sistema globale (e così via per i nodi 5 e 7). In questo modo in FORCE verranno allocati correttamente i valori delle forze agenti sui nodi 4 , 5 , 7. Nel nostro caso si avrà:

 FORCE(7)=  Fxy(1,1)-->  0
FORCE(8)= Fxy(2,1)--> -6.5
FORCE(9)= Fxy(1,2)--> -2.3
FORCE(10)= Fxy(2,2)--> 0
FORCE(13)= Fxy(1,3)--> ...
FORCE(14)= Fxy(2,3)--> ...



SUB FORCES.PNG

      SUBROUTINE FORCES(Nodes, IFMAX, IFXY, Fxy, FORCE)
DIMENSION IFXY(IFMAX),Fxy(2,IFMAX), FORCE(2*Nodes)
DO 10, i10=1,IFMAX
INDX=IFXY(i10)*2-1
INDY=IFXY(i10)*2
FORCE(INDX)=Fxy(1,i10)
FORCE(INDY)=Fxy(2,i10)
ENDDO
RETURN
END

Nel main useremo la subroutine clear così avremo inizialmente che tutti gli elementi delle matrici e dei vettori saranno nulli, e poi attraverso le subroutine seguenti solo i valori che andremo a modificare assumeranno valore diverso da zero. Ciò dal punto di vista computazionale è un risparmio in quanto, con l'utilizzo del puntatore, si vanno a modificare solo i termini non nulli, cioè quelli relativi ai nodi caricati. Inoltre questo metodo ci servirà qualora volessimo analizzare la medesima struttura, cambiando solo le forze agenti sui nodi analizzati; infatti si dovrà esclusivamente cambiare il valore della forza in questione nella matrice Fxy (cosa che invece non si potrà fare per quel che riguarda il vincolamento).

Vincolamento

La teoria degli elementi finiti è detta “agli spostamenti” quando tutte le forze nodali sono note, mentre gli spostamenti nodali rappresentano le variabili primarie (incognite). Se non si impone alcun tipo di vincolo alla struttura, quest’ultima risulta in genere labile; ne segue che non è possibile determinare gli spostamenti dovuti al caricamento della struttura se non a meno di indesiderati spostamenti rigidi. Questo è prova della necessità di vincolare la struttura, in modo da eliminare i moti rigidi, e della difficoltà di imporre il vincolamento, poiché negli elementi finiti agli spostamenti, proprio gli spostamenti sono le incognite, e quindi ad essi non si possono direttamente assegnare dei valori imposti senza alterare lo schema risolutivo. Per imporre agli spostamenti nodali incogniti i valori desiderati, occorre alterare l’equazione relativa al grado di libertà vincolato, in moda tale che la soluzione di quest’ultima, in termini di spostamenti , assuma il valore richiesto senza togliere allo spostamento il suo carattere di incognita cambiando quindi l'equazione elastica in un'equazione geometrica. L'equazione da cui si parte è:

la quale rappresenta un’ equazione elastica

Nella teoria dell’elasticità semplificata la convenzione sul segno delle τ (che noi avevamo preso per convenzione opposte su membri adiacenti) dice che le quattro τ hanno tutte lo stesso segno. Quindi noto il segno di una di queste per la teoria dell’elasticità sono note tutte le altre. Possiamo distinguere quindi due casi:

1.Caso di spostamento imposto nullo

Come esempio si voglia imporre lo spostamento lungo x del nodo 53 nullo per una struttura composta da 97 nodi. In indice globale l’equazione nodale di riferimento lungo x sarà: 53x2-1 = 105


(1)


Questa è un’equazione elastica, in quanto i coefficienti Ki,j sono coefficienti elastici che collegano le 194 componenti di forza nodale, Fi, alle 194 componenti di spostamento nodale δj. Si cambia il carattere dell’equazione trasformandola da elastica in geometrica, in modo da esprimere il vincolamento del grado di libertà 105 (δ105 = 0) indipendentemente dai valori assunti da tutte le altre 194-1 = 193 componenti di spostamenti nodali. A tal scopo si annullano tutti i coefficienti K105,j della matrice di rigidezza, tranne il termine diagonale K105,105, che viene posto uguale a 1. Per quel che riguarda il vettore dei termini noti, che raggruppa le forze esterne imposte, si deve attribuire al termine F105 il valore dello spostamento imposto, ovvero 0. L’equazione (1) diventa:


(2)


L’incognita rimane sempre δ105. Come si può facilmente intuire la soluzione è δ105 = 0, indipendentemente da tutti gli altri valori di spostamento δj. La matrice di rigidezza che inizialmente si presenta come:


(3)


introducendo le modifiche imposte dal vincolamento del grado di libertà 105, diventa:



(4)



In questo passaggio la matrice di rigidezza non gode più della sua simmetria; tale fatto è particolarmente nocivo dato che i solutori del sistema di equazioni lineari che si impiegano nei programmi commerciali traggono vantaggio dalla simmetria della matrice di rigidezza, riducendo notevolmente il numero di operazioni necessarie alla definizione delle incognite rispetto ad un solutore che non ne sfrutta la simmetria.Si annullerà dunque anche la colonna riferita all'elemento K105 e sarà comunque lecito operare questa modifica nel caso in cui lo spostamento imposto sia nullo. Infatti, dato che δ105 è stato imposto uguale a 0 (caso caratteristico di una zona incastrata della struttura), i prodotti Kn,105 * δ105, con n ≠ 105, risultano tutti nulli, dato che appunto δ105 = 0. Se quindi tutti i prodotti Kn,105 * δ105 sono nulli non solo perché δ105 = 0 ,ma anche perché Kn,105 è stato imposto uguale a 0 (con n ≠ 105), non si apporta alcuna modifica al sistema di equazioni lineari espresso in forma matriciale (4). Quindi, per spostamento imposto nullo relativo al grado di libertà n, è lecito annullare non solo i coefficienti della riga n della matrice di rigidezza, ma anche i coefficienti della colonna n, tranne il termine diagonale, posto di valore unitario. Di conseguenza l’equazione in forma matriciale diventa:



(5)


Come si può notare la matrice in questo caso conserva la sua simmetria.

2.Caso di spostamento imposto non nullo

Si pensi ora di imporre alla componente di spostamento δ105 un valore non nullo, ad esempio 10: si dovrà modificare l’equazione 105 in modo che δ105 = 10. Basta quindi annullare di nuovo i coefficienti della matrice di rigidezza della struttura della riga 105, tranne il termine diagonale, che deve esser imposto pari a 1, e porre il termine F105 uguale allo spostamento imposto 10. Si ha:


(6)


passando al sistema di equazioni espresse in modo matriciale:



(7)



Anche qui la matrice di rigidezza perde la sua simmetria in seguito alle modifiche di vincolamento; questa volta non è lecito annullare tutti i termini della colonna 105, oltre che quelli della riga 105, escluso il termine diagonale, posto unitario. Infatti dato che δ105 è stato imposto pari a 10 tramite l’alterazione compiuta sull’equazione 105, i prodotti Kn,105 * δ105, con n ≠ 105, risultano in genere non nulli, dato che δ105 ≠ 0. Per mantenere la simmetria della matrice di rigidezza, tali prodotti vengono posti nel vettore dei termini noti, mentre la colonna Kn,105 con n ≠ 105 rimane svuotata del suo termine, spostato ai termini noti, e quindi può esser posta uguale a 0:




Trasportando tutto questo discorso teorico in linguaggio di programmazione FORTRAN si hanno i seguenti comandi.

Le variabili per la subroutine che effettua il vincolamento della matrice di rigidezza sono:

Il numero dei nodi vincolati ( ICNMAX ) che nel nostro caso è uguale a 2, ovvero i nodi 1 e 8 dove vi sono degli incastri.

Il puntatore ( doppio) che indichiamo con ICNXY( 2, ICNMAX ), questo ci darà, a seconda del primo indice, il nome del nodo che stiamo considerando (se vale 1) oppure la direzione lungo cui agisce il vincolo di quel nodo(se vale 2). In quest’ultimo caso varrà:

  * 1 se vincolato lungo x
* 2 se vincolato lungo y
* 3 se vincolato lungo x e y


Quindi per quanto detto sopra e con riferimento alla nostra struttura avremo:

    ICNXY(1,1)=1
ICNXY(2,1)=3
ICNXY(1,2)=8
ICNXY(2,2)=3

Poi avremo un 3° indicatore che contiene al suo interno gli spostamenti:

    CNXY(2,ICNMAX)

allora possiamo scrivere la

Subroutine che effettua il vincolamento

della matrice di rigidezza globale e del vettore dei termini noti

In particolare divido il codice in 3 parti: la prima relativa al vincolamento lungo x (goto 100), la seconda relativa al vincolamento lungo y ( goto 200) e la terza relativa al vincolamento lungo x e y (goto 300). (ICNST = ICNXY)

CONSTRAIN1.PNG

CONSTRAIN2.PNG

      SUBROUTINE CNSTNG(Nodes,ICNMAX,ICNST,CNST,FORCE,TOTK)
DIMENSION FORCE(2* Nodes), TOTK(2* Nodes,2* Nodes)
1ICNST (2,INMAX),CNST(2,ICMAX)

DO 10,I10=1,ICNMAX
IF(ICNST(2,I10).EQ.1)GO TO 100
IF(ICNST(2,I10).EQ.2)GO TO 200
IF(ICNST(2,I10).EQ.3)GO TO 300
PRINT*,'ERROR'
STOP

100 CONTINUE
INDX=ICNST(1,I10)*2-1
DO 110,I110=1,2*NODES
TOTK(INDX,I110)=0.
FORCE(I110)=FORCE(I110)-TOTK(I110,INDX)*CNXY(1,I10)
TOTK(I110,INDX)=0.
110 CONTINUE
TOTK(INDX,INDX)=1.
FORCE(INDX)=CNST(1,I10)
GO TO 10

200 CONTINUE
INDX=ICNST(1,I10)*2
DO 210,I210=1,2*Nodes
TOTK(INDX,I210)=0.
FORCE(I210)=FORCE(I210)-TOTK(I210,INDY)*CNXY(2,I10)
TOTK(I210,INDY)=0.
210 CONTINUE
TOTK(INDX,INDY)=1.
FORCE(INDY)=CNST(2,I10)
GO TO 10

300 CONTINUE
INDX=ICNST(1,I10)*2-1
INDX=ICNST(1,I10)*2
DO 310,I310=1,2*Nodes
TOTK(INDX,I310)=0.
TOTK(INDY,I310)=0.
FORCE(I310)=FORCE(I310)-TOTK(I310,INDX)*CNST(1,I10)
FORCE(I310)=FORCE(I310)-TOTK(I310,INDY)*CNST(2,I10)
TOTK(I310,INDX)=0.
TOTK(I310,INDY)=0.
310 CONTINUE
TOTK(INDX,INDX)=1.
TOTK(INDY,INDY)=1.
FORCE(INDX)=CNST(1,I10)
FORCE(INDY)=CNST(2,I10)
GO TO 10

10 CONTINUE
RETURN
END

Flessi nei telai - Approccio grafico

L'approccio grafico dei flessi nei telai fa parte di alcune regole grafiche che fanno la storia dell'ingegneria. Il vantaggio di impiegare una costruzione grafica è che si ricorda meglio rispetto alle formule. Inoltre dalla costruzione grafica si riesce a risalire alle formule.

Nel seguito si tratta l'applicazione di questa regola grafica in relazione alla determinazione della deformata nei portali.

Altri esempi di soluzioni grafiche a problemi ingegneristici sono:

  • il circolo di mohr, una tecnica grafica che permette di determinare come variano le tensioni sul quadratino elementare, al variare dell'orientamento di questo.
  • soluzioni grafiche sui tubi, attraverso le quali si ottengono tensioni qualitative senza nessun calcolo.
  • la regola del filo per la determinazione del momento flettente su travi caricate da forze e/o coppie.
  • il teorema di mohr per la deformata delle travi (spesso affrontato come disegno analitico ma è nato come tecnica grafica)

La regola del filo risulta di utile impiego in quanto dà un colpo d'occhio sui carichi applicati e sul il momento flettente, e permette di individuare velocemente errori ed incongruenze tra verso di applicazione dei carichi e grafico del momento flettente.

Sui portali si ha una regola analoga che permette di capire se il disegno della deformata del portale è sbagliato o meno, e dalla deformata permette di individuare l'andamento qualitativo (non certo quantitativo) del momento flettente Mf.

In una struttura il momento flettente è spesso la caratteristica di sollecitazione più interessante perchè direttamente collegata al calcolo delle tensioni nella struttura. Infatti vale:

dove W è il modulo di resistenza della sezione della trave, e è la tensione sulla sezione stessa.

Pertanto dalla valutazione di Mf in ogni sezione riusciamo a quantificare direttamente le tensioni.

Essendo i portali anelli chiusi in parte sul suolo, sono strutture per forza iperstatiche. Determinare Mf (anche solo il suo andamento generico) per una struttura iperstatica è complesso. Con la teoria dei flessi nei telai risulta invece molto più agevole.

L'idea alla base di questo approccio grafico deriva da una considerazione teorica: se considero una trave appoggiata come in figura 1.a, e considero sulla trave due punti A e B molto vicini, se nell'intorno dei due punti non è applicato un carico allora il momento flettente è lineare e può avere uno qualsiasi degli andamenti esemplificati in figura 1.b ma non l'andamento di figura 1.c.


Fig1.png


Cioè il il fatto che Mf vada ad intersecare la struttura tra i punti A e B è statisticamente improbabile. Pertanto possiamo affermare che se due punti sono vicini, praticamente sempre (quasi sempre, in quanto non si tratta di un teorema) il momento flettente Mf nei punti A e B ha lo stesso segno. Se A e B sono molto vicini praticamente non cambia neanche il valore.

Si può valutare questa regola pratica considerando due punti A e B nell'intorno di uno spigolo di un portale, fig. 2, per arrivare a dire che Mf difficilmente cambia di segno nel passare dai punti A e B. Non si tratta di un teorema ma una regola pratica, di senso ingegneristico.


Fig2 flessi.png


Siccome il momento flettente nei punti A e B deve avere lo stesso segno, le deformate plausibili nell'intorno dello spigolo del portale sono quelle rappresentate in fig. 3

Fig3 flessi.png


mentre quelle di fig.4 sono estremamente improbabili: se la deformata di un portale nell'intorno degli spigoli è come in fig. 4 è (quasi sicuramente) sbagliata.


Fig4 flessi.png



Regola della conservazione dell'angolo (retto)

La regola appena mostrata è successiva in ordine di importanza alla regola fondamentale della deformata dei telai, che afferma che c'è la conservazione dell'angolo. Siccome di solito l'angolo è retto, questa regola si chiama correntemente di conservazione dell'angolo retto.

Per capire perché in un telaio si conserva l'angolo tra due travi si può pensare a una struttura tubolare come quella rappresentata in fig. 5.


Fig5 flessi.png


Se la parte curva tra le due sezioni individuate è molto corta, le due sezioni rimangono tra loro perpendicolari perche il tratto curvo che le unisce è breve. Tale regola è vera quanto più il tratto curvo è corto. Se si considera un'interpretazione matematicizzata si arriva a dimostrare la conservazione dell'angolo retto.


Occorre non confondere tra la regola di conservazione dell'angolo retto e la regola dei flessi. Sono due cose diverse, in particolare nell'idea dei flessi si parte già dalla conservazione dell'angolo retto.

Vediamo un esempio:

Esempio 1- portale classico

Fig6 flessi.png

Si considera il portale in fig.6, caricato in mezzeria. La struttura è simmetrica sia nelle sue caratteristiche geometriche che di caricamento. Si vuole determinare l'andamento qualitativo del momento flettente Mf.

Questo problema non è di immediata risoluzione (anche solo qualitativamente) perché la struttura è iperstatica, ed essendo incastrata, ha bisogno di due equazioni di congruenza.

Il taglio T manca per la simmetria della struttura, mentre sono presenti momento flettente Mf e sforzo normale N. La struttura è due volte iperstatica, e per la sua risoluzione occorre definire due equazioni di congruenza che non è facile individuare. Attraverso la determinazione della deformata invece si può determinare facilmente.

Per la determinazione del momento flettente della struttura in fig.6 si parte da un'idea basata su un aspetto teorico: si rilassano i vincoli della struttura aggiungendo due cerniere tra la trave e le due colonne, cerniere inesistenti, fig. 7.


Fig7 flessi.png


La struttura a questo punto si comporta come una trave su due appoggi, dove gli appoggi sono le due colonne. La trave pertanto si deforma per forza come indicato in fig.8, e questa è già una parte della deformata.

Fig8 flessi.png


Tuttavia, se si comporta come in fig.8, la conservazione dell'angolo retto impone un comportamento della deformata come indicato in fig. 9:

Fig9 flessi.png

A questo punto è già stata determinata buona parte della deformata della struttura, che però non è ancora completamente corretta. Infatti la regola sui flessi sopra enunciata afferma che questa combinazione di curvature in corrispondenza dei due spigoli del portale, fig. 9, non è ammissibile, o quantomeno verrebbe fuori in casi particolari (come ad esempio nel caso fosse applicata una coppia C in corrispondenza degli spigoli, in quanto la coppia fa saltare il diagramma di Mf a gradino per cui non diventa così raro che i due lati dell'Mf,quello in corrispondenza dello spigolo della trave e quello in corrispondenza della colonna siano uno a momento positivo e l'altro a momento negativo. Pertanto se sugli spigoli è applicata una coppia C, queste consederazioni sui flessi portano a ragionamenti errati).

Ritornando alla struttura di fig. 6, giunti alla fig.9, considerando una metà della struttura (simmetrica), la regola dei flessi impone che occorra un flesso che renda coerente la curvatura dei due spigoli secondo la fig. 3, in quanto la struttura come presentata in fig.9 non è plausibile, è rarissima, di fatto impossibile (si ricorda che questa regola non è un teorema). Occorre aggiungere dei flessi per andare verso una situazione della deformata in corrispondenza degli spigoli del portale, illustrata in fig. 3.

pertanto, fig.10, potrei avere due soluzioni corrette:

  • mettere un flesso sulla trave, punto A
  • mettere un flesso sulla colonna, punto B

le due possibili soluzioni di posizionamento dei flessi (a) e (b) sono mostrate in fig. 10.


Fig.11 flessi.png


Entrambe le soluzioni garantiscono la conservazione dell'angolo retto, e curvature dei rami in corrispondenza dello spigolo entrambe plausibili. In particolare, il flesso A sulla trave comporta una curvatura dei rami nello spigolo di tipo fig.3.(b); un flesso B sulla colonna comporta una curvatura dei rami negli spigoli come in fig.3.a. Tuttavia una delle due è giusta, l'altra sbagliata.


Per decidere quale soluzione è quella corretta si considera ora la deformata della colonna: essa ha già un flesso, fig. 9. Si valuta nel seguito la possibilità di aggiungerne un altro sulla colonna. La deformata della colonna presenta già un flesso. Inoltre il tratto di colonna è non caricato da forze o coppie esterne (l'unica forza esterna è in mezzeria alla struttura). Essendo la colonna non caricata, il momento flettente è un momento lineare. In fig.11.a sono presentate alcune possibilità di andamento del momento flettente (lineare), rispetto all asse della colonna.In fig. 11.b e 11.c sono invece rappresentati esempi di andamenti che il momento flettente non può avere: non può essere bilineare in quanto la colonna non è caricata da una forza esterna, fig.11.b; non può presentare un salto come in fig.11.c perche non è caricato da coppia esterna.


Fig11 flessi.png

La colonna e il corrispondente momento flettente sono entrambi lineari, fig.11.a. Si osserva che due rette, o sono parallele, o si intersecano in un punto. Ovvero due rette (due segmenti lineari come in questo caso) o si intersecano una volta o non si intersecano, ma due volte non possono intersecarsi.

Inoltre, se il grafico del momento flettente interseca il segmento che rappresenta la colonna indeformata significa che in quel punto si annulla e poi cambia di segno, pertanto in corrispondenza di quel punto la deformata della struttura presenterà un flesso. L 'intersezione del bordo di Mf rispetto all'asse della struttura è legata alla presenza di un flesso nella deformata della struttura.

Pertanto, sulla colonna non si può definire a priori con esattezza la direzione del momento flettente, ma certamente è lineare in quanto la colonna non è caricata da forze esterne. Dunque non si può sapere se Mf interseca o meno l'asse della struttura, ma se lo interseca lo fa una volta sola.

Quindi si può concludere per le considerazioni fatte che nella colonna non possono esserci due flessi: non si può aggiungere il flesso B necessario sulla colonna.

Riassumendo quanto già presentato in fig.10 le due possibiltà di aggiunta di flessi (si considera metà struttura, specularmente avviene lo stesso sull'altra metà);

  • La prima soluzione aggiunge un flesso sulla colonna (punto B), flesso che si aggiunge a quello già esistente.
  • la seconda soluzione aggiunge un flesso nella trave ( punto A).

Per i ragionamenti fatti non si può mettere il flesso sulla colonna, punto B, fig. 10.a.


Si considera ora la traversa. Si valuta su di essa l'andamento del momento flettente: siccome c'è una forza centrale su una struttura simmetrica, la regola del filo dice che il momento flettente Mf può avere uno degli andamenti rappresentati in fig. 12.

Fig12 fless.png


Non si può sapere a priori quale dei tre andamenti è quello corretto, ma si può osservare che, essendo il momento flettente bilineare, esso interseca la traversa o nessuna volta, oppure due volte. Pertanto la deformata di questa traversa ha o due flessi, o nessun flesso. Dunque si possono aggiungere i flessi che occorrono sulla traversa.

Pertanto, riassumendo le considerazioni fatte:

  • si è verificato che occorre aggiustare la deformata della struttura rispetto alla fig. 9, aggiungendo dei flessi.
  • non si può mettere un flesso sulla colonna.
  • un flesso si può mettere nel punto A, purché sia accompagnato dall'altro flesso A' sulla traversa

la deformata giusta viene pertanto illustrata in fig.13:


Fig16 flessi.png


Per determinare il grafico qualitativo del momento flettente si riportano le posizioni (qualitative) dei flessi sulla struttura indeformata (è infatti meglio disegnare il grafico di Mf sull'indeformato, perché più comprensibile che sul deformato). In corrispondenza degli spigoli della struttura è consuetudine riportare con un arco di cerchio il valore del momento sul tratto adiacente, in quanto cambia la direzione, ma Mf ha valore continuo nello spigolo. Nella colonna Mf è lineare, nella trave bilineare, pertanto l'andamento qualitativo del momento flettente è riportato in fig.14.


Fig.17 flessi.png

Studiare i portali in questo modo è importante perchè ci permette immediatamente di determinare se ci siano errori nello studio del momento flettente e nella flessione della struttura, anche se per una più corretta analisi è sempre meglio svolgere i calcoli in maniera estesa e non solo per via intuitiva come qui trattato.

Portale Rettangolare

Consideriamo ora un portale rettangolare non incastrato o collegato al terreno ma caricato da due forze verticali applicate nel punto medio dei due lati orizzontali.

Come si deforma una tale struttura?

Sfruttando i principi di CONSERVAZIONE DELL'ANGOLO RETTO e di CONSERVAZIONE DELLA CURVATURA posso determinare intuitivamente l'andamento del momento flettente sulla struttura e quindi scovarne i punti di flesso.

Otterremo quindi la seguente deformata:

LINK IMPORTANTE PER RIPASSO TEORIA DEI VINCOLI E ANALISI CINEMATICA

  1. RINVIA [[1]]
  1. RINVIA [[2]]

Bibliografia

1. Antonio Strozzi, Dispensa: Progettazione assistita di strutture meccaniche

2. Antonio Strozzi, Costruzione di Macchine, Pitagora Editrice Bologna