Teoria 15

Da CdM_unimore.

Foglio di calcolo maxima svolto con commenti

Soluzione puramente flessionale di una spina elastica

Si propone il calcolo su una spina elastica, problema di contatto con grande interesse pratico; si tratta di analizzare un vincolamento, per calettamento elastico, di un organo su un foro. Andremo a calcolare una soluzione ,tramite l'equazione di Castigliano, e un imposizione sulla curvatura geometrica della spina. Se si inserisce una spina elastica all'interno di un foro, che consideriamo infinitamente rigido, la spina tocca il foro nei punti estremali di apertura e in basso per un arco di circa 120°. L'andamento della deformata della spina elastica all'interno del foro è all'incirca quello rappresentato nella figura seguente:

Spina elastica in foro rigido.png


Abbiamo poi due carichi concentrati nella parte superiore di intensità e due carichi concentrati alle estremità del carico distribuito di intensità . Il contatto da analizzare è di tipo recessivo.

Richiamo sulle tipologie di contatto:

LINEARE: l'ampiezza della zona di contatto non cambia all'aumentare del carico. E' di scarso interesse nello studio matematico perché banale (esempio: contatto della vite, all'aumentare del carico, salvo effetto Poisson, la zona di contatto rimane costante)

PROGRESSIVO: detto anche contatto Hertziano, l'area di contatto cresce non linearmente. Si veda ad esempio il caso di contatto di sfera su piano: il contatto iniziale risulta molto piccolo (contatto in un punto) e vi è un gioco considerevole mentre all'aumentare del carico il gioco si riduce e la zona di contatto aumenta seguendo una legge fortemente non lineare.

Progressivo.png

RECESSIVO: inizialmente si ha interferenza nulla. Con l'aumento del carico si ha una riduzione immediata della superficie di contatto, che rimarrà poi tale indipendentemente dal carico applicato. Ad esempio si consideri il caso di mensola fissata con viti non precaricate. La mensola sfiora solamente il piano, ed è sufficiente un piccolo carico per provocarne il distacco.

Recessivo.png

Un ulteriore esempio può essere quello di una molla ad elica cilindrica di compressione: appena schiaccio la molla la zona di contatto si contrae in zone minori, tuttavia se il contatto è di tipo recessivo, dopo una contrazione iniziale, la superficie della zona di contatto rimane costante, ossia non cambia più all'aumentare del carico. Ricordiamo infine che il contatto recessivo prevede un'idealizzazione dal punto di vista matematico che consiste nel considerare gioco e interferenza nulli quando due corpi entrano a contatto.

REGRESSIVO: in questo caso si hanno delle interferenze iniziali non trascurabili. La presenza di queste è dovuta al precarico, che provoca uno schiacciamento iniziale. Con l'aumento del carico ho una riduzione non immediata della superficie di contatto. Considerando il precedente esempio della mensola, le viti sono precaricate e nella prima fase di caricamento, occorre vincere la resistenza offerta dallo stesso precarico delle viti di ancoraggio. Solo quando il carico supera tale resistenza avverrà il progressivo distacco della mensola, con la corrispettiva diminuzione della superficie di contatto. Un altro esempio di contatto regressivo è quello tra boccola e piede di biella: è immediato notare che anche a carico nullo è presente una forte interferenza. Questo tipo di contatto risulta essere particolarmente difficile da gestire a livello teorico.

N.B. La differenza tra contatto recessivo e regressivo consiste nelle condizioni iniziali: in caso di contatto RECESSIVO ho interferenza nulla, viceversa in caso di contatto REGRESSIVO ho forte interferenza.

Definizione del problema

Primo caso trattato è quello di una spina elastica inserita in un foro rigido, con il diametro leggermente superiore a quello del foro. Tale spina può esser considerata ad asse curvo: questa ipotesi ci permetterà in seguito di utilizzare equazioni riferite a travi rettilinee. E' importante imporre questo al fine di evitare l'utilizzo di una trave curva, la quale sarebbe caratterizzata da una "farfalla" non lineare, tensioni più forti al bordo interno e il piano neutro non baricentrico, caratteristiche che rendono impegnativa la risoluzione del problema. Caso analogo è quello di un albero su cui viene forzata una spina elastica di diametro leggermente inferiore. Agli elementi finiti notiamo come l'accoppiamento consiste in un forzamento che da origine a 2 punti di contatto concentrato () e un arco di circa 120° su cui è opportuno sottolineare che la pressione p esercitata dal foro rigido sulla spina sia sostanzialmente uniforme. N.B.: in realtà dall'analisi agli elementi finiti si nota che sebbene centralmente essa sia uniforme, vicino agli estremi di tale arco vi sono due picchi che possono essere schematizzati nella rappresentazione semplificata con le forze concentrate (). Tale schematizzazione si vedrà essere comunque ben rappresentativa del problema.

Il caso sopra rappresentato risulta quindi essere di tipo puramente flessionale. Ma quale è la ragione per l'attivazione delle pressioni? Tutte le forze in gioco sono connesse al concetto di interferenza: il raggio della spina elastica è maggiore di quello del foro rigido in cui viene forzata. Accertata l'esistenza di questa pressione di contatto e denominati:
= raggio della spina elastica
= raggio del foro rigido

cerchiamo di evidenziare le incognite necessarie per poi determinare le equazioni necessarie da applicare a Castigliano.

Forze in gioco sulla spina.png

Nel disegno, le forze di contatto sono state rappresentate perfettamente verticali: in realtà ciò non è propriamente esatto, ma se la discontinuità della spina non è eccessiva, si tratta di un'approssimazione indolore.

Le incognite del problema sono: , ,, angolo di pressione α;
L'angolo α è un parametro stabile dipendente dall'ampiezza di contatto iniziale.


Ora studiamo il contatto spina elastica - foro rigido. Abbiamo in linea teorica 3 casi:
: raggio esterno della spina e raggio interno del foro sono uguali, ossia c'è sfioramento in assenza di carico, la spina sfiora su tutto il contorno, il foro, senza trasmettere carico e l'arco di contatto sarà pari a 360° (gioco e interferenza nulli);
: raggio esterno della spina è maggiore del raggio interno del foro: c'è caricamento;
: raggio esterno della spina è minore del raggio interno del foro: c'è gioco.
Il caso interessante è il secondo.

In tali condizioni è semplice identificare come il fattore decisivo sia l'interferenza. Appena applico il carico, una parte della spina si stacca dal profilo del foro rigido, diminuendo quindi l'area di contatto. Tale superficie rimarrà, anche con un successivo aumento del carico, sostanzialmente inalterata permettendo di definire il contatto di tipo recessivo appunto. Come abbiamo accennato precedentemente, il contatto ricorda il problema di una molla ad elica cilindrica di compressione, infatti supponendo di poggiare la molla scarica su un piano e supponendo che il peso della molla sia idealmente nullo, si ha che la base di appoggio sia la superficie totale dell'elica inferiore. Tuttavia, caricando anche minimamente la molla con una forza perpendicolare al piano e passante per l'asse della stessa, si osserverà che la base di appoggio diminuisce in area di contatto, visto che una porzione di elica si solleva rispetto al piano d'appoggio.

Imposizione dell'equilibrio alla traslazione verticale

Equilibrio Verticale

Visto che il problema è composto da 4 incognite (F1, F2, P, α), è necessario definire 4 equazioni indipendenti per riuscire ad ottenere una soluzione univoca. La prima equazione si ottiene molto semplicemente imponendo l'equilibrio verticale della spina. Dall'analisi dello schema è facilmente desumibile,per ragioni di simmetria, l'inesistenza del Taglio. Le entità fisiche rimanenti dovranno quindi autoequilibrarsi verticalmente, permettendoci di ricavare la nostra prima equazione di equilibrio:


Dato che stiamo considerando una pressione uniforme sul tratto caricato, può uscire fuori dal segno di integrale e diventa:

Si è così ottenuta la prima equazione del sistema che andremo a risolvere. Essa rientra nella categoria delle equazioni di compatibilità.

Calcolo del momento flettente

Ora ricaviamo le espressioni dei momenti flettenti della spina elastica vista nell'ottica della trave curva. Si specifica che si considerano tre angoli per lo svolgimento: alpha, angolo che spazza la zona scarica da F2 a F1; theta, l'angolo generico che indica la zona totale considerata nell'analisi; omega, l'angolo che identifica la posizione della risultante del carico distribuito.

Incognite.png

In prima approssimazione, nel calcolo dell'energia interna assumo i raggi di anello e foro uguali, così da utilizzare un raggio unico denominato R, corrispondente al raggio medio tra i due. Ci sono alcuni casi tuttavia in cui tale approssimazione non può essere utilizzata in quanto l'errore risulterebbe eccessivo. Analogo ragionamento può essere fatto per l'accoppiamento albero mozzo.

Da ciò, sfuttando la simmetria del sistema e suddividendo in due parti la struttura, posso ricavare le formule dei momenti flettenti:

(positivo nel verso di "arricciamento" della spina)

Mf2

Inserendole nella formulazione di Castigliano:



Da Castigliano posso ricavare la freccia relativa allo spostamento necessario alla spina elastica per l'alloggiamento nel foro rigido:



Spostamento imposto per l'inserimento della spina nel foro

In realtà lo spostamento è noto: infatti, per inserire la spina nel foro, devo produrre uno spostamento che quantifico come . Si moltiplica per 2 perchè si sta considerando un'interferenza diametrale e quindi ci interessa la differenza tra i diametri della spina e del foro. Quindi:


Per capirlo basta pensare di appoggiare idealmente la spina, nella parte inferiore, al bordo del foro e di dover "schiacciare" la parte superiore della spina per l'inserimento nel foro stesso. Uguagliando l'espressione dello spostamento ricavato con Castigliano all'espressione già nota dello spostamento si ottiene un'equazione di congruenza, che utilizzerò come seconda equazione del mio sistema:



N.B. C'è un altro modo (non corretto) di applicare Castigliano, che individua appunto un procedimento alternativo: se nell'espressione di avessi sostituito , esprimendolo in funzione di e ricavabile dall'equazione di equilibrio verticale, avrei in seguito ottenuto un risultato errato eseguendo l'operazione di derivazione . Così facendo il teorema di Castigliano perde significato, perchè sarebbe come voler imporre una freccia in un punto non corrispondente. In altre parole si perviene ad un risultato sbagliato perchè si ottiene un lavoro delle forze esterne che è in parte su e in parte su

A questo punto servono altre due equazioni dato che le incognite sono 4 e si va a considerare la zona di contatto esteso dove c'è .

Terza equazione del sistema

Risolvendo l'integrale all'interno di e sfruttando le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno, risulta:



Tuttavia, i termini all'interno della parentesi moltiplicata per il seno di theta, all'interno del secondo membro dell'equazione sopra descritta, coincidono con la prima equazione trovata, quella relativa all'equilibrio verticale del sistema in esame, moltiplicata però per R. Risulta quindi:


;


Di conseguenza, dato che il momento flettente è indipendente da theta, deve risultare anche:


;


allora si ha che:


.


E' perciò evidente che il momento flettente avrà un andamento costante. Questo è dovuto all'andamento della deformata della spina elastica, è chiaro, infatti, che nella zona di contatto la spina si adagia perfettamente sulla superficie interna del foro (ritenuta indeformabile)e ciò fa si che la variazione del raggio di curvatura della spina sia costante. La domanda che sorge spontanea è dunque legata all'andamento del momento flettente (Mf2). L'importanza del momento flettente è data dal fatto che questo è legato generalmente a due contributi fondamentali, il primo di tipo tensionale in quanto per una trave caricata si ha e un secondo di tipo deformativo visto che dove R è il raggio di curvatura di una trave inflessa (raggio che varia da punto a punto della trave). Bisogna puntualizzare inoltre che nel caso di travi dritte si parla semplicemente di curvatura, mentre per travi già curve (come la spina in considerazione) è più corretto parlare di variazione di curvatura. Per le considerazioni effettuate in precedenza si ha che il momento flettente è costante, e di conseguenza lo sarà anche la variazione di curvatura.

Quarta equazione del sistema

Grazie alle considerazioni fatte precedentemente arriviamo alla quarta e ultima equazione utile per la risoluzione del nostro sistema


(si può utilizzare tale equazione grazie all'ipotesi di trave ad asse curvo)


ma ;


dove R è il raggio medio, sotto le ipotesi semplificative di al denominatore e al numeratore. Allora ciò che si ottiene sarà:


.


N.B. come al denominatore è concesso approssimare i due raggi e considerarli identici commettendo un errore minimo ampiamente trascurabile, al numeratore l'approssimazione non è permessa poichè impedirebbe la risoluzione dell'equazione.

Procedimento per trovare il valore di α

  • Dall'equazione ricavo P


  • Dall'equazione ricavo


  • Sostituisco il valore di trovato all'interno dell'equazione di equilibrio verticale, ricavando così


  • Sostituisco in Castigliano tutti i valori trovati e risolvo l'equazione della freccia .

Otterrò un'equazione in funzione esclusivamente di α



Risulterà che α vale 122°35', ossia all'incirca , il che conferma quanto ipotizzato all'inizio per l'arco di contatto.