Teoria 1

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Confronto tra la teoria degli Elementi Finiti e la soluzione di un tubo (pag. 927 CdM)

Iniziamo facendo un parallelismo tra la Teoria dei Tubi e la Teoria degli Elementi finiti (agli spostamenti), utile a comprendere le somiglianze e le differenze tra i due argomenti. Si noti che gli spostamenti sono la variabile primaria, per quanto, comunque, si tratti di incognite.

Tubi

  • Equazione di equilibrio in (problema assialsimmetrico), con equazione radiale.
  • Equazione di equilibrio in , sfruttando la teoria relativa alla Legge di Hooke.
  • Equazione di equilibrio in termini di u (si noti che, usando solo l'equazione in , non riusciremmo a ricavare le 2 incognite presenti). Quello che troviamo è una "u esatta".
  • Calcolo di da u e, di conseguenza, calcolo di da .
  • Condizioni al contorno imposte (BOUNDARY CONDITIONS).

Elementi Finiti

  • Si parte da una " u approssimata", attraverso una funzione che viene da noi imposta (attenzione: verrebbe da pensare che le u siano note, ma in realtà sono incognite; si parte dalle u perchè sono la variabile principale).
  • Si calcolano sia che , in funzione della u (approssimata), sfruttando la Legge di Hooke.
  • Si impongono i carichi ed i vincoli, per ricavare una soluzione approssimata in u.
  • Si calcola (approssimato) dalla u. Di seguito, si calcola (approssimato) da .
  • Quello che andiamo a determinare è un sistema di forze concentrate ai nodi (forze nodali), facente equilibrio alle tensioni sul contorno e ad ogni carico distribuito nell’elemento.

Ripasso Teoria Elementi Finiti e introduzione all'assemblaggio

Avevamo già detto, nella lezione precedente, che è possibile scrivere il campo di spostamenti, in funzione di x ed y, attraverso apposite funzioni di forma del tipo Ni(x,y), ovvero polinomi con grado coerente con i gradi di libertà dell'elemento. Per un generico elemento triangolare, avremo:

[metodo di Galërkin]

[la Tenda di Rimini secondo Strozzi]

Il campo degli spostamenti all'interno di un certo elemento finito viene espresso in funzione degli spostamenti nodali; le deformazioni all'interno di ogni elemento finito si calcolano differenziando il campo di spostamenti, come già visto nella lezione precedente.

Si ottiene, in modo riassuntivo, una espressione del tipo:

in cui è una matrice (3x6), contenente solo dei numeri (negli elementi finiti triangolari in caso piano), che descrive un operatore differenziale, ovvero che differenzia gli spostamenti per fornire le deformazioni. Esse sono raggruppate nel vettore colonna in modo "generalizzato", dato che le e le sono realmente deformazioni, mentre la rappresenta essenzialmente uno scorrimento.

Dopo aver assunto che il componente meccanico lavori in elasticità lineare, le tensioni si ricavano dalle deformazioni attraverso la Legge di Hooke.

Si ottiene una espressione del tipo:

in cui la matrice (3x3) contiene le costanti elastiche E (Modulo di Young) e ν (coefficiente di Poisson), esprimendo la legge di Hooke.

Anche il vettore colonna σ raggruppa le tensioni "generalizzate", dato che e sono tensioni normali, mentre rappresenta una tensione tangenziale.

Il passaggio successivo prevede di raggiungere un equilibrio di forze nodali, ovvero le sei forze che l'elemento triangolare esercita ai tre nodi, in funzione dei sei spostamenti nodali.

Come abbiamo già visto nella lezione precedente, le forze nodali sono espresse con la forma:

in cui è una matrice 6x6, chiamata matrice di rigidezza dell'elemento finito, e che rappresenta una versione in più dimensioni del coefficiente che lega, in una molla, la forza al carico di schiacciamento (super-molla). Si noti che, applicando il teorema di reciprocità di Betti, si dimostra che la matrice di rigidezza è simmetrica e semidefinita positiva.

Dunque si ottiene, infine:

Equilibrio nodale (da p.906 a 911)

A questo punto, bisogna abbandonare l'idea di studiare un solo triangolino; passiamo dunque a una visione d'insieme dei concetti fin qui studiati, passando da un singolo triangolino a una struttura, piuttosto semplice, composta da tre elementi finiti triangolari 1,2,3 e dai cinque nodi 1,2,3,4,5.

Struttura tre elementi.png


Come si vede in figura, ogni elemento triangolare presenta i vertici indicati da tre indici. Procedendo in senso antiorario, al primo diamo il nome i, al secondo j e al terzo k. Notiamo, inoltre, un sistema di riferimento x,y per poter procedere alla scrittura delle equazioni di equilibrio, e la presenza di un carico esterno P, agente sul nodo 2. Vogliamo, ad esempio, scrivere l'equazione di equilibrio in direzione x del nodo 2; ciò vuol dire trovare la condizione per cui il nodo 2, sotto l'azione delle forze in direzione x esercitate dagli elementi 1 e 2, equilibra la componente lungo x della forza esterna P.

Il legame tra forze e spostamenti nell'elemento 1 si può scrivere come :

in cui il simbolo indica la forza nodale relativa all'elemento 1 e al grado di libertà 3. Visto che ogni vertice di ogni elemento possiede due gradi di libertà (può muoversi lungo x e lungo y), allora si avrà che:

  1. Primo gdl= primo vertice (i) dell'elemento 1 in direzione x (nodo 4)
  2. Secondo gdl= primo vertice (i) dell'elemento 1 in direzione y (nodo 4)
  3. Terzo gdl= secondo vertice (j) dell'elemento 1 in direzione x (nodo 5)

Pertanto, come regola generale per la codifica basata sui nodi, è possibile dire che, essendo n un generico nodo, il grado di libertà lungo x è associato all'indice 2*(n)-1 mentre il grado di libertà lungo y è associato all'indice 2*(n).

Lo stesso tipo di ragionamento va fatto per gli spostamenti, ovvero per il vettore colonna . In questo modo, possiamo riscrivere, per esempio, le espressioni in forma codificata; per l'elemento 1 si ha:

Per l'elemento 2, invece, il legame tra forze e spostamenti nodali può essere scritto come:

Questa volta il simbolo indica la forza nodale relativa all'elemento 2 e al grado di libertà 3. Analogamente al caso precedente, questa volta si avrà che:

  1. Primo gdl= primo vertice (i) dell'elemento 2 in direzione x (nodo 2)
  2. Secondo gdl= primo vertice (i) dell'elemento 2 in direzione y (nodo 2)
  3. Terzo gdl= secondo vertice (j) dell'elemento 2 in direzione x (nodo 5)

In questo modo, possiamo riscrivere, per esempio, in forma codificata per l'elemento 2:

Andiamo, quindi, a definire l'equazione di equilibrio della forza in direzione x, al nodo 2. Andranno considerati i contributi sia dell'elemento 1 sia del 2. Per il primo elemento si ha:

Per il secondo elemento, invece:

Facendo il calcolo della forza totale lungo x, si perviene a:

Eguaglio questa forza alla componente lungo x del carico esterno, cioè , per ottenere l'equazione di equilibrio del nodo 2 cercata, in direzione orizzontale x.

La struttura matriciale dell'equazione di equilibrio per il nodo 2 lungo x, quindi, è:

Attraverso i passaggi visti, allora, si può passare da indici locali, validi per una singola matrice di rigidezza di un singolo elemento, ad indici globali, correlati ai nodi a cui arrivano in modo ordinato i tre vertici dell'elemento triangolare, che compongono la matrice di rigidezza dell'intera struttura. Si può vedere bene dalla figura seguente:


Assemblaggio matrice rigidezza elemento 1.png


In questo modo, ad esempio, per l'elemento 1, il termine che localmente era in posizione , viene globalmente assemblato in posizione , riferendoci alla matrice complessiva.

Si noti che anche la matrice di rigidezza globale risulta simmetrica e anche semidefinita positiva, prima dell'imposizione del vincolamento.

E' interessante notare che, in accordo con le teorie tipicamente accettate, si usa fare solo l'equilibrio alla traslazione nelle due direzioni x ed y, evitando l'equilibrio alla rotazione: questo è dovuto all'idea che il nodo sia un punto, e che i punti non ruotino.

Oltre all'equilibrio dei nodi, viene dimostrata anche la loro congruenza; infatti, possiamo dire che, considerando un nodo appartenente a due elementi adiacenti, esso è e sarà sempre un nodo unico:

  • esso non può in alcun modo duplicarsi;
  • esso non può "aprirsi", spanciando un elemento sugli elementi triangolari vicini, neanche sotto carico;

Per l'idea di compatibilità degli spostamenti, allora, nessuna delle due condizioni è possibile, dato che non è concessa né la presenza di aria nella struttura, né la compenetrazione del materiale.

Equilibrio nodale versione del 4/3/2014

L'equlibrio di Forza Nodale coincide con l'assemblaggio dove quest'ultimo corrisponde alla scrittura delle equazioni di equilibrio e permette quindi di scrivere la matrice di rigidezza K della struttura. Prendiamo un generico elemento triangolare con nodi interni i, j e k e nodi esterni 2, 7 e 6 (sempre senso antiorario):

K 3,2 nella matrice di rigidezza globale diventa K 13,4

Dato un nodo n, i 2 indici ad esso correlati saranno l'(n x 2)- 1_esimo e (n x 2)_esimo Nell'esempio:

  • al nodo 2 corrisponderanno gli indici 3 e 4 : ( (3x2)-1 e (3x2) )
  • al nodo 7 gli indici 13 e 14 : ( (7x2)-1 e (7x2) )
  • al nodo 6 gli indici 11 e 12 : ( (6x2)-1 e (6x2) )

(i, j,k) corrispondono a una numerazione locale, (2,7,6) corrispondono a una numerazione globale → passo quindi da un'indicizzazione locale a una globale.

Non può capitare la congruenza negli elementi finiti perchè è implicita nella teoria:

  • i nodi non si possono sdoppiare o aprire
  • i lati non possono sovrapporsi (compenetrazione di materiale) o allontanarsi (creazione di aria) perchè il campo di spostamenti è lineare

In un elemento a 8 nodi (funzioni di forma ricchissime) per esempio:

considero un nodo intermedio che è quello che fa si che i 2 lati adiacenti si possano incurvare, può succedere quindi che un lato si alzi e si crei aria (deforma perchè è quadratico).

Carichi esterni

Quando ad un componente reale viene applicato un carico esterno, esso viene distribuito solitamente su una certa superficie (ad esempio corrispondente ad una area di contatto tra due corpi). Tuttavia, data la natura discreta dell’oggetto che si studia quando si applica la teoria degli elementi finiti, appare evidente l’impossibilità di applicare un carico distribuito a tale struttura. I carichi sulla struttura vengono trasformati in forze applicate solamente ai nodi; questo è valido per qualunque software di analisi FEM. Possiamo dunque applicare solo forze concentrate, applicandole in corrispondenza dei nodi.
Consideriamo il caso rappresentato nella seguente figura:

Struttura caricata.jpg

In questa semplice struttura è applicata una pressione sui lati compresi tra i nodi 10 e 11 e i nodi 11 e 12. Possiamo scomporre questi lati in due strutture costituite da travi semplicemente appoggiate alle estremità. In corrispondenza dei nodi nascono le reazioni vincolari e e ancora le reazioni e .

Quando ricomponiamo la struttura appare evidente che il nodo 11 sopporta le reazioni di entrambe le sottostrutture e quindi di intensità doppia rispetto alle estremità.
Generalizzando appare chiaro che i carichi applicati ai nodi estremi di un lato caricato siano la metà dei carichi applicati ai nodi intermedi. Naturalmente la risultante dovrà equivalere a quella data dal carico iniziale distribuito. I carichi concentrati, così determinati, trovano posto nel vettore forze dei termini noti, seguendo le regole di allocazione già viste per le matrici di rigidezza degli elementi.

Si osserva che, infine, in una struttura, solo una ridotta parte dei nodi subisce carichi esterni (circa il 10%), dato che i nodi interni al corpo non vengono caricati. Questo accade perché i carichi derivano, generalmente, da problemi di contatto; risultano eccezioni i casi di forze di massa, come ad esempio i carichi inerziali (ad esempio il disco rotante) i quali coinvolgono tutti i nodi, compresi quelli interni.

Vincolamento

La teoria degli Elementi Finiti agli spostamenti prevede che le forze nodali siano conosciute e che gli spostamenti nodali siano incogniti. Come si è più volte detto, una struttura non vincolata sarebbe labile, e questo non consentirebbe di calcolare agevolmente gli spostamenti dei nodi, in seguito ad un caricamento della struttura.

Osserviamo, allora, che è "obbligatorio" imporre un vincolamento per trovare gli spostamenti; ciò si scontra, però, col fatto che, nella teoria degli Elementi Finiti, gli spostamenti siano tutti incogniti e, quindi, non sia possibile assegnare ad essi dei valori imposti, a meno di scombinare la corretta risoluzione.

Per imporre agli spostamenti nodali i valori voluti, è necessario lavorare sull'equazione di equilibrio della forza nodale, alterandola, in modo che la soluzione in termini di spostamenti dell'equazione assuma il valore richiesto, pur senza togliere allo spostamento le sue fattezze di incognita. Si opera, perciò, su una forma di questo tipo:

in cui rappresenta le forze (note), i rappresentano gli elementi della matrice di rigidezza (noti) e, di conseguenza, l'incognita è rappresentata dai , che indicano gli spostamenti nodali.

Per esempio, vediamo il caso di uno spostamento nullo imposto, in cui la forza viene messa a 0. E' il tipico caso della zona incastrata di una struttura, in cui i nodi non possono spostarsi. Vediamo come procedere. Considero una riga qualsiasi, ad esempio la riga 39, ipotizzando che essa rappresenti l'equilibrio per un certo nodo 20 lungo x, secondo la codifica ormai conosciuta. Quella che ci troviamo davanti è definibile come una equazione elastica:

Procediamo mettendo a zero tutti i coefficienti , tranne il , che va posto uguale a 1. L'equazione che si ottiene è definibile come un'equazione geometrica, in virtù del fatto che il termine noto non rappresenti più una forza, bensì uno spostamento. Si perviene ad un'equazione del tipo:

ovvero

.

In questo modo, essendo l'incognita, si arriva a immediatamente a dire che è nullo, indipendentemente dagli altri valori di spostamento, senza ricorrere al pivotaggio.

Questa tecnica è intuitiva, malgrado abbia il difetto di "riempire" la memoria del calcolatore con righe inutili, impegnandola coi calcoli per lungo tempo, nel caso in cui vi sia una moltitudine di elementi.

Considerando, inoltre, la matrice di rigidezza complessiva della struttura, modificata nella riga come detto in precedenza, si osserva che essa perde la sua simmetria, in seguito al vincolamento.

Ci chiediamo, quindi, se sia possibile annullare tutti i termini della colonna 39, oltre a quelli della riga, tranne il termine diagonale, che ha valore unitario. Questo è fattibile, a patto che lo spostamento imposto sia nullo. Infatti, dato che è stato imposto nullo, alterando l'equazione elastica, allora tutti i prodotti , con n≠39, risultano nulli. E' lecito, perciò, in questo caso, annullare anche i coefficienti della colonna, con il vantaggio di "salvare la simmetria" della matrice: questo può fare comodo e, soprattutto, può rivelarsi utile per aiutare i solutori del sistema di equazioni usati nei programmi commerciali. Essi, infatti, beneficiano della presenza di matrici simmetriche, così da ridurre il numero di operazioni necessarie a definire le incognite.

L'altro caso che si osserva è, infine, quello in cui lo spostamento imposto non sia nullo, situazione caratteristica di punti della struttura soggetti a movimento, in seguito a sollecitazioni applicate. Imponiamo, ad esempio, che la forza sia uguale a 10, e procediamo in modo analogo al caso precedente. Annulliamo tutti i coefficienti della riga 39 nella matrice di rigidezza della struttura, tranne il termine diagonale, posto uguale ad 1. L'equazione geometrica che si ottiene sarà di questo tipo:

.

Come detto in precedenza, non è lecito, questa volta, annullare anche tutta la colonna 39, dato che il termine non è più nullo, ma è noto, e vale 10. I prodotti , allora, sono diventati termini conosciuti: il loro posto naturale è, quindi, "al di là dell'uguale", nel vettore dei termini noti. Procedo col trasferimento, ovviamente cambiando il segno ai prodotti, e lasciando la colonna 39 senza termini, cioè posta a 0, ad esclusione dell'elemento diagonale che assume il valore unitario. In questo modo, quindi, siamo riusciti a mantenere la simmetria della matrice di rigidezza, pur con condizioni di vincolamento diverse. Si potrebbe dimostrare, inoltre, che la matrice di rigidezza della struttura diventa definita positiva (perciò invertibile) dopo aver effettuato il processo di vincolamento.

Riferimenti bibliografici

Strozzi Antonio, (1998), Costruzione di Macchine. Pitagora Editrice, Bologna.