Tensioni ovalizzanti spinotto

Da CdM_unimore.


Contatto nel piede di biella

Il caso del piede di biella è strettamente collegato al caso di ovalizzazione dello spinotto. Si tratta di un contatto progressivo con un limite superiore, nel senso che tirando all'infinito, l'angolo di contatto non cresce all'infinito.

Quante equazioni di congruenza occorrono per risolvere questa struttura?


Piede biella.png

A differenza del caso precedente, abbiamo un solo asse di simmetria coincidente con l'asse verticale, ciò ci permette di studiare metà struttura.

Piede biella 2.png


Se ci fosse solo la pressione (verso l'esterno)il semi-anello arriccerebbe in fuori, quindi all'estremità serve una coppia in senso antiorario. La forza N invece deve essere verso sinistra. La reazione N, la nostra incognita iperstatica, non può essere calcolata con un'equazione di equilibrio lungo l'orizzontale come nel caso dello spinotto alla giovanozzi, infatti, in questo caso non abbiamo simmetria rispetto all'asse orizzontale; necessita quindi dell'uso di Castigliano in maniera analoga alla coppia C.

Abbiamo bisogno, quindi, di due equazioni di congruenza.

Dividiamo la trave in due tratti e consideriamo il momento flettente Mf 1 per il tratto 1, e Mf 2 per il tratto 2.

A questo punto applicando Castigliano troviamo l'energia interna dei due tratti (U_1 e U_2) e poi imponendo nulli lo spostamento verticale e la rotazione nel punto di sconnessione riusciamo a calcolare le incognite iperstatiche N e C.

Individuazione pressioni di contatto infinite

Partiamo da un problema pratico piano, di esempio per il caso di forzamento albero-mozzo. Se il mozzo è rigido e l'albero è deformabile, agli estremi dell'area di contatto ho indentazione, e qui le pressioni di contatto tendono ad infinito ma risultano integrabili, quindi la forza che si ottiene dall'integrale della pressione non è infinita ( quindi non è disturbante). Se invece il mozzo è deformabile e l'albero è rigido, allora la pressione di contatto non ha picchi, ma rimane finita, ce lo conferma il fatto che ora non c'è indentazione. Nel caso di mozzo rigido e albero deformabile si ha una indentazione del mozzo sull'albero, quindi ho bisogno di una singolarità.

Quando si ha a che fare con strutture complesse non sempre si capisce se in un punto le tensioni devono andare a infinito oppure no. Tramite analisi agli elementi finiti come si fa a saperlo? Definiamo una regola pratica. Si esegue una meshatura più fitta nel punto sospettato di presentare tensioni infinite, e se infittendo la mesh in quel punto le tensioni crescono, allora in quel punto si potrebbe avere una serie divergente, questo è un problema fastidioso. Se all'infittire della mesh ottengo tensioni via via più elevate (teoricamente elevate quanto voglio), ho un punto di singolarità con tensioni matematicamente infinite. Occorre prestare molta attenzione a questi punti.

Esercizio per il calcolo della matrice di rigidezza

Riprendiamo una formulazione di elementi finiti come esercizio, riferita ad un elemento a 4 nodi, ma non isoparametrico.

EL4.jpg

Avevamo proposto:

Proviamo a vedere come trovare la matrice di rigidezza di questo elemento. La prima cosa da fare è scrivere U e V non in funzione degli ai, ma delle incognite U1, V1,U2,V2,U3,V3,U4,V4 perchè l'elemento ha 8 gradi di libertà.

Implemento in maxima:

U: a1 + a2*x + a3*y + a4*xy;

V: a5 + a6*x + a7*y + a8*xy;

eq1: ev(U,x=x1,y=y1)-U1;

eq2: ev(U,x=x2,y=y2)-U2;

eq3: ev(U,x=x3,y=y3)-U3;

eq4: ev(U,x=x4,y=y4)-U4;

eq5: ev(V,x=x1,y=y1)-V1;

eq6: ev(V,x=x2,y=y2)-V2;

eq7: ev(V,x=x3,y=y3)-V3;

eq8: ev(V,x=x4,y=y4)-V4;

abbiamo un sistema di 8 incognite in 8 equazioni

Linsolve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8],[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8]), globalsolve=true;

U:Ev(U,a1=a1)

V:Ev(V,a1=a5)

Questo è un principio di esercizio per il calcolo della matrice di rigidezza. Il prossimo passo sarebbe calcolare εx, εy e γxy.

Costruzione di un'equazione integrale della funzione di Green

(pag.86 PA)



Fig.1 Soluzione di Boussinesq


  • Prendiamo in considerazione un semipiano elastico (Fig.1) e lo carichiamo con una forza P, concentrata perpendicolarmente al bordo. L'intensità della relativa freccia δ risulta pari a:
                                                     

La coordinata x rappresenta il punto in cui viene applicato il carico. All'interno della formula è presente un modulo. Esso ci indica che la freccia assume lo stesso valore sia quando x assume un valore positivo e sia quando ha un valore negativo, quindi per due punti equidistanti dall'applicazione del carico, però posizionati in lati opposti. Quindi, la deformazione è simmetrica rispetto al punto di applicazione del carico. L'espressione precedentemente scritta costituisce la funzione di Green di un problema di contatto tra un semipiano ed un indentatore.


Fig.2


  • Se invece si introduce l'utilizzo di due coordinate (Fig.2), la x ( la quale definisce il punto di applicazione delle diverse forze) e la y ( la quale definisce il punto in cui deve essere valutata la freccia). In questo caso l'equazione risulterà nel seguente modo:


                                                  


Fig.3


  • Se si prendono in considerazione due forze P 1 e P2 agenti in posizioni x1 e x2 (Fig.3), allora l'equazione sarà la sommatoria dei termini x e y:


                                            



Fig.4


  • Se è presente una pressione distribuita (Fig.4) tra le coordinate x1 e x2 allora la sommatoria che si otterrà sarà un integrale, ossia la sommatoria di infiniti termini dove la pressione viene considerata come infinite forze infinitesime adiacenti:


                                                

Quest'ultima equazione è una rappresentazione integrale dello spostamento.

Significato fisico degli stati di tensione e di deformazione piana

Lo stato di deformazione piana è diverso dallo stato di tensione piana; per ottenere il primo ci sono delle tensioni fuori dal piano, il secondo invece causa delle deformazioni nelle direzioni fuori dal piano; questo comportamento è dovuto al modulo di Poisson (ν) che caratterizza i materiali: se fosse pari a 0 non si avrebbero differenze. Uno stato tensionale piano è definito in un punto da

  • σzzxzy=0
  • εz non nullo.

Ad uno stato di tensione piana non si accompagna in genere uno stato di deformazione piano caratterizzato in un punto da

  • εz=0
  • γzx=0
  • γzy=0

Lo stato di deformazione piana è dovuto alla presenza di due zone, una zona sovraccaricata e una zona sotto caricata, la prima tende a deformarsi lungo l'asse z e la seconda tende a non deformarsi costituendo un vero e proprio ostacolo alla libera deformazione della parte sovraccaricata. Alla fine lungo l'asse z avremo una εz=0 e quindi uno stato di deformazione piano.


Figura 1


  • In questa figura (figura 1) vengono rappresentati vari corpi di piccolo spessore in direzione z. Le sezioni perpendicolari alla direzione z sono geometricamente uguali e sono ugualmente caricate nel loro piano. Questi corpi soddisfano quindi la condizione necessaria affinché possa esistere uno stato piano di tensione o di deformazione. I corpi ( a ), ( b ), e ( c ) sono soggetti ad uno stato piano di tensione. Infatti le tensioni risultano nulle su tutti i punti delle due facce del corpo. Poiché lo spessore del corpo è piccolo, le tensioni non riescono a variare di molto lungo lo spessore e quindi si può ritenere che tali tensioni rimangano trascurabili anche per i punti interni del corpo. Per quanto riguarda il caso d, siamo proprio in tensione piana??? Viene rappresentata una lastra che si attacca ad un basamento che per le sue dimensioni prevalenti sulla dimensione della lastra posso pensare rigido. Proviamo a pensare al meccanismo tensionale: se metto questa lastra in trazione ogni cosa che tiro tende a stringersi, ma essendo la lastra attaccata al basamento,ad esempio saldata, ed essendo il basamento rigido non può stringersi. Nella zona inferiore, dove la lastra si attacca al basamento, si rilevano delle sigma che tendono ad impedire questa strizione. Possiamo dunque dire che nel caso (d) si è in tensione piana, tranne che nell'intorno dell'incastro in cui la lastra si attacca al basamento dove invece lo stato tensionale è chiaramente tridimensionale; in questo caso per studiarla bisognerà infittire la mesh in quel dato punto oppure aumentare il coefficiente di sicurezza.


Figura 2


  • In questo caso (figura 2) è stato rappresentato un corpo di grande spessore in direzione z rispetto, al riferimento cartesiano riportato in figura, e precisamente un cilindro deformabile schiacciato tra due piani assunti rigidi. Il contatto tra cilindro e piani è ritenuto senza attrito per semplicità. Questa è la rappresentazione di un caso di contatto Hertziano. Le sezioni perpendicolari a z del cilindro sono tutte geometricamente uguali tra loro ( figura b ,c ). Si può anche fisicamente ritenere che la pressione di contatto rimanga abbastanza uniforme in direzione z. Questo corpo quindi soddisfa le condizioni necessarie per essere in uno stato piano di tensione o di deformazione. Per comprendere meglio le considerazioni sulle deformazioni del cilindro, è opportuno pensare che il cilindro sia fatto di gomma ( la sua forma ricorda quella di un rullo di un cuscinetto a rulli ). La zona centrale della sezione perpendicolare a z del cilindro risulta sottocaricata rispetto alle porzioni di cilindro vicine al contatto ( figura d ). La zona sottotensionata si deforma quindi poco, e trattiene le zone ad essa adiacenti, tensionalmente attive, in tutte le direzioni e quindi anche nella direzione laterale x ( figura f ) ed assiale z( figura g ). La vista laterale del cilindro indeformato, ( figura c ), è stata corredata da linee ideali equidistanziate disegnate sulla superficie cilindrica e giacenti sul piani x - y. In seguito alla compressione del cilindro, queste linee non si deformano nella zona centrale del cilindro, sottocaricata ( figura g ). Nella (figura h ) è rappresentato il cilindro tagliato lungo piani ideali, in modo che esso risulti idealmente costituito da tanti elementi a sezione piccolissima ed ad elevato sviluppo assiale. Questi tagli ideali rimuovono le tensioni, almeno supponendo senza attrito il contatto tra i vari elementi allungati, e quindi eliminano di fatto la capacità frenante di flussi in sensi assiale del materiale.


Figura 3


  • In questo esempio (simile al precedente) ci sono due cilindri di acciaio ricoperti da uno strato di gomma. Con lo schiacciamento dei due rulli l’acciaio non subisce deformazioni significative, le gomme invece si schiacciano. si nota che, mentre nell'esempio precedente c’era una zona centrale sottocaricata, qui è l’acciaio ad avere lo stesso scopo, quindi il modello di deformazione piana è coerente. Agli estremi invece c’è tensione piana. Comunque, la deformazione piana prevale per il 90-95%.


Figura 4


  • Nella figura a) viene rappresentato (figura 4) un corpo di grande spessore in direzione z, rispetto al riferimento cartesiano riportato nella figura: è una mensola deformabile inflessa da una distribuzione di forza applicata lungo la sua estremità. Le sezioni perpendicolari a z della mensola sono tutte geometricamente uguali tra loro ed ugualmente caricate ( figura b, c ). La mensola soddisfa quindi le condizioni necessarie per lavorare in stato piano di deformazione. Infatti il materiale a cui la mensola è incastrata risulta sottocaricato rispetto alla mensola ed alle zone dell'incastro in prossimità dell'incastro stesso ( figura d ).


Figura 5


  • Viene preso in considerazione un dente di una ruota dentata cilindrica a denti dritti di notevole estensione in direzione z. Nel dente, in particolare, si distinguono una zona centrale di deformazione piana, le facce laterali in tensione piana ed una zona di transizione. Anche per il dente, la zona dell'incastro lontana dal dente è virtualmente scarica, e quindi poco deformata. Quindi questa zona sottocaricata trattiene assialmente il dente, facilitando l'instaurarsi di uno stato di deformazione piana, insieme al fatto che gli ingobbamenti si ostacolano mutuamente. La zona di transizione è verosimilmente più ampia nelle parti del dente lontane dall'incastro, dato che in queste parti l'effetto di trattenimento assiale sia esercitato dall'incastro diventa meno sensibile.


Figura 6


  • In a) (figura 6) si vede il modello approssimativo per calcolare le tensioni nello spinotto. Il tubo ‘schiacciato’ in d) in maniera da ovalizzarlo, nel suo complesso è in tensione piana o deformazione piana? Guardando la cubettistica in una sezione centrale allo spinotto, questo in A si schiaccia quindi si allunga assialmente, in C viene tirato, quindi si accorcia assialmente. Se si rappresentano gli spostamenti assiali si ottiene la situazione d). Si vede che ha un ingobbamento, è pieno di zone che si ostacolano. Il calcolo tensionale della tensione ovalizzante con questo modello andrebbe fatto in deformazione piana. Essa, infatti, nasce dal contrasto tra due tipi di zone: una che si vuole allungare assialmente e l’altra accorciare, trovando una via di mezzo cioè εx =0.


Figura 7


  • In figura sono presentati alcuni controcasi: non è una regola matematica che se il componente è corto in direzione z allora si tratta di tensione piana mentre, se è lungo, allora è in deformazione piana. In b) ci sono tensioni matematicamente infinite nello spigolo, quindi si può dire che è tutto sottocaricato tranne una piccola zona che invece è caricatissima. La zona sottocaricata tende a non variare il suo spessore, mentre la zona apicale si, ma non ci riesce poichè le zone sottocaricate bloccano la struttura. Queste infatti sono molto rigide e perciò la zona apicale non è completamente in tensione piana ma in uno stato intermedio tra tensione e deformazione piana.


Figura 8


  • Qui vengono presi in considerazione alcuni casi di elementi di grande spessore, che però non lavorano totalmente in uno stato piano di deformazione. Il più interessante dei tre è quello in figura a): un tubo di notevole lunghezza in direzione z soggetto a pressione interna. A causa dello spessore considerevole in direzione z, si potrebbe pensare che il tubo lavori in deformazione piana. Se però il tubo è libero di dilatarsi assialmente, come quando possiede soffietti di dilatazione alle estremità, lavora in tensione piana anche se molto lungo. Infatti lo stato tensionale nel piano x-y del tubo possiede la particolarità che le tensioni radiale e circonferenziale variano a seconda della distanza dal centro del tubo, cioè variano con il raggio. La deformazione assiale che tali tensioni generano, calcolabile tramite la legge di Hooke, è però indipendente dal raggio, cioè è costante per tutti i punti della sezione sul piano x-y del tubo. Non nascono quindi quegli ingobbamenti delle sezioni che frenano i flussi assiali del materiale e che favoriscono l'insorgere dello stato di deformazione piana. In questo caso le sezioni, non ingobbandosi, non si ostacolano vicendevolmente nel movimento di dilatazione o concatenazione assiale e il tubo si adatta alle condizioni al contorno che vengono imposte alle due estremità del tubo, condizioni appunto di tensione piana per la presenza dei soffietti di dilatazione.


Figura 9


  • Questa figura rappresenta un altro caso di corpo in grosso spessore in direzione z, ma non lavorante in deformazione piana. Si tratta di un pannello isolante impiegato nei contenitori per il trasporto di materiale alimentare, soggetto a momento flettente. L'andamento della tensione flessionale è ancora a farfalla, ma le tensioni nell'anima di polistirolo sono molto minori di quelle sulle lamine metalliche, dato che quest'ultime sono più rigide e quindi assorbono un'aliquota superiore al carico. Le tensioni sono quasi uniformi lungo lo spessore delle lamine metalliche. Lo strato centrale del polistirolo espanso non è in grado di precludere le contrazioni in direzione z delle due lamine metalliche, derivanti dalle tensioni di flessione. La lamina metallica superiore risulta quindi soggetta a compressione monoassiale. Le due lamine metalliche lavorano quindi in tensione piana nelle due direzioni x e y, e non in deformazione piana, nonostante lo spessore elevato del pannello in direzione z.

Bibliografia

  1. Antonio Strozzi, Dispensa: Progettazione assistita di strutture meccaniche
  2. Antonio Strozzi, Costruzione di Macchine, Pitagora Editrice Bologna