Tensioni ovalizzanti

Da CdM_unimore.

Tensioni Ovalizzanti e Deformata di Ovalizzazione in uno spinotto automobilistico

Impieghiamo il teorema di Castigliano per risolvere un problema riguardante l'ovalizzazione di uno spinotto automobilistico cavo. Si noti, che la deformata di tali strutture si calcola considerando lo spinotto come un anello sottile avente raggio medio r. In particolare, vogliamo calcolare la freccia dello schiacciamento verticale dello spinotto quando esso è sottoposto ad un carico di compressione verticale P, concentrato negli estremi superiore ed inferiore.

Cerchio.png

Quante equazioni di congruenza servono per risolvere la struttura? La struttura in esame presenta simmetria orizzontale e verticale. Per tale simmetria, si considera solo un quarto di spinotto vincolato con un incastro all'estremità inferiore e considerando un carico pari a P/2, anzichè P. Poichè si deve avere una deformata a tangente nulla in mezzeria, vista la simmetria del problema, bisogna considerare la presenza di una coppia C avente verso diretto come in figura.


Schermata 2014-04-01 alle 18.28.47.png

Si noti che, nel punto in cui si è aperta la struttura, non è stata riportata una forza normale N come si evince da figura. Infatti, se per un attimo si considera il semianello destro della struttura, è immediato constatare che l'equilibrio traslazionale della struttura è soddisfatto solo se le azioni normali, una sopra e una sotto rispetto all'asse di simmetria orizzontale, sono nulle, non essendoci altre forze agenti orizzontalmente sulla struttura. Di conseguenza, tornando a considerare la struttura ad un quarto di anello, aprendo la struttura in corrispondenza dell'asse di simmetria verticale non vanno riportate le forze normali, in quanto nulle.

Nell'incastro è presente taglio? No, perchè sull'asse di simmetria si annullano le sollecitazioni antisimmetriche. Se si considerasse la presenza del taglio, in corrispondenza dell'incastro, si avrebbe una deformata qualitativamente a "mazzo di carte" che risulterebbe antisimmetrica rispetto all'asse di simmetria orizzontale della struttura, quindi, il taglio in corrispondenza dell'incastro è, per forza, nullo.

Di conseguenza, rimanendo solo la coppia C delle reazioni considerate, essa risulta autoequilibrante e la scrittura dell'equazione di equilibrio non mi aiuta a ricavarla. La struttura così scomposta è una volta iperstatica e necessita, dunque, di una equazione di congruenza per la determinazione della coppia C.

Scriviamo l'equazione di congruenza in coordinate polari. Il momento flettente, dovuto al carico di compressione , è:

L'energia interna flessionale, si calcola integrando il quadrato del momento flettente diviso 2*E*J sull' arco di circonferenza. Dopodichè, per ottenere l' equazione di congruenza, differenzio U rispetto C, e pongo la rotazione dell' estremità del quarto di anello pari a 0. L' equazione di congruenza assume la forma:

Risolvendo l'equazione, si ottiene per la coppia C il valore:

che sostituito in U dà:

Per il teorema di Castigliano, la freccia si ottiene dalla derivata di rispetto a :

Ed infine, moltiplicando per 4, si ottiene la freccia verticale dello spinotto completo:


Utilizzo del manipolatore algebrico Maxima

Schermata 2014-04-01 alle 17.56.50.png

Schermata 2014-04-01 alle 17.58.47.png


Mf: P/2 * r * sin(theta) - coppia;
U: 1/ (2*YM*J)* integrate (Mf**2*r, theta, 0, %pi/2);
EQ1: diff (U,coppia);
linsolve (EQ1,coppia);
U: ev (U,coppia=P*r/%pi);
freccia: 2* diff(U,P);
freccia: fullratsimp (freccia);

La coppia C è espressa in funzione di P, ed io vorrei derivare solo rispetto a P e non considerare C; ma la coppia non dà lavoro poichè la rotazione è nulla, quindi, derivando ottengo comunque il risultato corretto poichè non compare il contributo energetico della coppia C. C ha un valore particolare e quindi A (punto di applicazione di P/2) non ruota.

Anello sottile (caso alla Giovannozzi)

Di seguito, otteniamo una stima dell'ovalizzazione dello spinotto.

Schermata 2014-04-01 alle 18.51.43.png

In questo caso è presente un anello sottile di raggio medio r sottoposto ad un carico .

Nel modello proposto dal Giovannozzi la pressione di contatto dello spinotto è:

Perchè  ?

Perchè molto probabilmente così va a zero insieme alla derivata prima, se mettessi andrebbe a zero con una tangente. Probabilmente Giovannozzi voleva che andasse a zero con "grande dolcezza". Tale formula viene utilizzata per calcolare l'ovalizzazione del piede di biella, perchè viene simulato l'andamento della pressione di un perno caricato.

Può essere studiato considerandone solo un quarto, dato che il problema presenta simmetria orizzontale e verticale.

Giovannozzi.png

Nel punto di apertura vengono applicate una coppia C necessaria a raddrizzare la struttura e, contrariamente al caso precedente, anche la componente normale N poichè la sollecitazione esterna ha componente orizzontale.

Come nel caso precedente, non è presente la componente di taglio in corrispondenza dell'incastro, in quanto darebbe una deformata non simmetrica rispetto all'asse.

A questo punto la domanda che sorge spontanea è se N sia un'incognita iperstatica o meno.

La risposta è NO, perchè basta una semplice equazione di equilibrio per calcolarla, senza ricorre a Castigliano:

La coppia non mi aiuta nell' equilibrio, è una classica incognita iperstatica. Possiamo dire, quindi, che questo problema ha bisogno di una equazione di congruenza per la sua soluzione.

Il passo succussivo è calcolare il momento flettente agente sulla trave.

Per farlo abbiamo bisogno di due variabili, una esterna che denota la sezione in cui voglio il momento flettente e una interna per l'integrale del contributo dovuto al carico.

Chiamando con la variabile esterna e quella interna avremo:

dove è il braccio del punto d'applicazione del carico.

Bibliografia

  1. Antonio Strozzi, Dispensa: Progettazione assistita di strutture meccaniche (pag.46)
  2. Antonio Strozzi, Costruzione di Macchine, Pitagora Editrice Bologna (pag.57)


Rivisto da 190818