Seminario De Bona su simmetrie/antisimmetrie

Da CdM_unimore.

FEM modeling of mechanical structures: practical aspects

Il passaggio che porta a rappresentare un modello reale, ad uno agli elementi finiti, richiede una comprensione fisica del problema, che porta a dover rispondere alle seguenti domande: Come deve essere vincolato il componente? Come si comporta una volta caricato? Ci sono fenomeni non lineari? Ecc...

Per creare un approccio di tipo sistematico nella creazione di un modello agli elementi finiti, è bene alcune regole:

Iniziare con un modello 2D: iniziare direttamente con un modello tridimensionale può essere svantaggioso, infatti si estenderebbe troppo anticipo il campo del problema, aumentando i gradi di libertà del sistema e la complessità di calcolo. Inoltre un rappresentazione 2d permette all'utente di inquadrare con maggior naturalezza il caso studiato.


Fare una meshatura grossolana: Inizialmente non è necessario curare la mesh al dettaglio, anche perchè sarebbe difficile farlo, solo in un secondo momento è prevista una raffinatura, in particolare nelle zone in cui si presentano alti gradienti tensionali.


Sfruttare le simmetrie: Di fatto vuol dire ridurre le dimensioni del problema.Tuttavia ha un utilità anche dal punto di vista concettuale, infatti l'individuazione delle simmetrie, porta l'operatore a ragionare sul possibile comportamento meccanico del componente, migliorando sicuramente la previsione dei risultati.


Studiare il problema linearmente e staticamente: In primo approccio non conviene portarsi dietro fenomeni di non linearità (es: attrito).Tuttavia è di fondamentale importanza "annotarsi" di aver in un primo momento tralasciato tali fenomeni.


Predire i risultati: E' importante per l'interpretazione dei risultati, un buon progettista non dovrebbe fidarsi a priori dei risultati macchina.


Un esempio è il problema di dovere applicare un tappeto antivibrante sotto un nuovo macchinario, capire qual è la sua rigidezza e trovare sotto quale carico cede.


Si parte da un modello piano. Poi non è possibile disegnare tutti i denti. Si disegna solo mezzo dente e mezzo tratto di collegamento col dente adiacente. Adesso bisogna capire quali sono le condizioni di vincolo del tappetino. Ignoro l’attrito e quindi escludo per il momento una non linearità. Il tappetino è libero di muoversi a destra e sinistra, si potrebbe bloccarlo con un gradino. Vi sono due situazioni: 1)tappetino libero 2)tappetino contenuto.

Caso 1)

Vincolamento: carrelli nella parte inferiore ricordando l’introduzione di una non linearità perché non si vuole che il tappeto si alzi. Carrelli sul lato verticale di sinistra in modo da bloccare la traslazione laterale di tutto il modello. Carrelli anche sul lato verticale di destra rispetto un sistema di riferimento fisso.

Caricamento: non si impone il carico distribuito sotto forma di pressione sul lato superiore, ma si impongono gli spostamenti verticali sul lato superiore da cui si ricaveranno le pressioni.

Meshatura: con elementi isoparametrici a 4 nodi, con infittimento della mesh sul lato orizzontale superiore e sullo spigolo interno.

Simmetrie

Simmetria geometrica

Definito un piano di simmetria, definiti punti e quindi delle geometrie su un semispazio sono automaticamente definiti punti e quindi geometrie nell'altro semispazio.

Simmetria dei carichi

Definire la simmetria dei carichi è immediato quando si impiegano forze, mentre per i momenti per caricare una struttura simmetricamente è necessario applicarli con versi di rotazione opposti, quindi a rigore, come vettori, sarebbero con verso opposto.

Viceversa con carichi antisimmetrici.

Simmetria strutturale

Geometria simmetrica, carichi simmetrici, distribuzione dei materiali simmetrica e vincolamento simmetrico.



Una struttura caricata simmetricamente (o antisimmetricamente) genera a sua volta risposte simmetriche (o antisimmetriche).

Una struttura simmetrica non caricata simmetricamente è riconducibile a problemi simmetrici e antisimmetrici di cui poi si devono sovrapporre gli effetti.

Ha convenienza per ridurre di molto i costi di calcolo.

Esempio di simmetria ed antisimmetria:

Lastra con foro centrale. Prendiamo solo un quarto di struttura, quello in alto a destra, perché il resto è simmetrico.

Vincolamento: carrelli su lato di sinistra, carrelli ruotati su lato inferiore

Caricamento: forza orizzontale diretta verso destra sull’elemento estremo in alto a destro

Infine è necessario bloccare un nodo qualsiasi, anche se idealmente vorremmo bloccare il centro del foro, ma sarebbe troppo complicato.

Simmetria settoriale

Simmetria gestita da tutti i codici. Altro modo di semplificare molto un problema, tipica applicazione su oggetti che hanno pattern circolari di feature.

Simmetria polare

Simmetria attorno ad un polo. La simmetria si ha quando il ribaltamento dell'elemento simmetrico genera una sovrapposizione dei carichi. Se il ribaltamento della struttura ha forze con segno opposto si ha un problema antisimmetrico, per simmetria polare.

Esempio pratico di riduzione del modello con simmetria polare: giunto incollato.

Interessa determinare lo stato di sollecitazione nello strato di colla del giunto.

I due punti del punto mediano del film di colla, opposti rispetto al polo di simmetria, rappresentano allo stesso tempo la radice di un dente e la 'punta' dell'altro dente, quindi i due punti devono avere il medesimo spostamento a meno del segno.

Altro esempio: formulazione armonica di un problema non simmetrico


Meshatura, alcuni suggerimenti:

-finezza della mesh in un calcolo della tensione dovrebbe seguire un po' l'andamento delle tensioni;

-evitare elementi distorti;

-in mesh grossolane diventa importante l'orientazione della mesh.


Esempio distorsione degli elementi: l'errore cresce molto con la distorsione della mesh, se sono punti dove si osservano le tensioni locali l'errore è grossolano.

Esempio: 4 orientazioni diverse delle mesh con stesso numero di elementi sullo stesso oggetto lastra, i 4 modelli restituiscono 4 risultati diversi.

Questo perchè alcuni elementi sono vincolati sui tre nodi, non vedendo spostamenti la loro tensione è nulla e quindi è come se non ci fossero, quindi si ha una sovrastima della rigidezza.

Problemi di mal condizionamento:

Esempio: elemento rigido sostenuto da elemento molto meno rigido.

introducendo una perturbazione, modificando la rigidezza dell'elemento poco elastico fa variare notevolmente i risultati (vedere matrice di rigidezza a due gradi di libertà).

Mal condizionamento dovuto all'incomprimibilità: gli elementi finiti determinano le tensioni agli spostamenti, se un elemento risulta incomprimibile gli spostamenti son nulli e le tensioni sono quindi nulle nel calcolo, non è un comportamento reale.

Necessario quindi verificare che il coefficiente di poisson non porti a mal condizionare il problema.


Come si fa a giudicare un risultato?

Il primo test utile per verificare se il modello è stato impostato correttamente, è il confronto tra le soluzioni elemento e le soluzioni interpolate. In generale se gli output grafici delle due soluzioni sono somiglianti vuol dire che si è giunti ad un risultato relativamente affidabile. In caso contrario è necessario far un passo indietro. Se il risultato è inadeguato generalmente è necessario infittire, alcuni software sono in grado di generare valutazioni sull'errore e proporre soluzioni in maniera automatica. Sono comunque da valutare perchè sono errori valutati sulle soluzioni interpolate e non sulla soluzione esatta.


Per concludere:

'Sebbene il metodo ad elementi finiti può rendere migliore un buon ingegnere, possono rendere un "non buon" ingegnere pericoloso'


'Gli utenti devono ricordare che la struttura non è tenuta a comportarsi in maniera analoga a ciò che ci mostra il calcolatore'


'I risultati devono essere sempre giudicati e confrontati con le proprie aspettative'