PASM:Intro dinamica delle strutture

Da CdM_unimore.

ANALISI DINAMICHE

Introduciamo le analisi dinamiche, in riferimento a strutture discretizzate agli elementi finiti. Le analisi dinamiche possono essere di diverse famiglie:

  • analisi dinamiche di transitorio:

si tratta di eccitazioni tipicamente non periodiche, o se anche si è in presenza di eccitazioni periodiche, si parte da una configurazione iniziale che non è parte della soluzione periodica. Ad esempio, un sistema inizialmente fermo viene eccitato con una sollecitazione periodica. Il transitorio rappresenta il regime di moto che va dall'istante iniziale (sistema fermo), all'istante in cui il sistema si muove di oscillazione periodica a regime.

  • analisi dinamiche su ipotesi di comportamento periodico:

si assume di essere lontano dai transitori iniziali, e si studia il sistema nella sua componente periodica. Ovviamente le eccitazioni al sistema possono essere solo periodiche.


In questo corso verranno trattate solamente le analisi dinamiche in ipotesi di comportamento periodico, pertanto ci limiteremo alle risposte della struttura a sollecitazioni periodiche e sostanzialmente sul lungo termine, quando anche la risposta, a fronte di un'eccitante periodica, è anch'essa periodica. In più, ci si limiterà a sistemi con comportamento lineare: tutte le analisi dinamiche affrontate in questo corso hanno alla base una teoria che vale solo in ipotesi di linearità.

Per prima cosa, è necessario caratterizzare l'elemento finito, oltre che dal punto di vista della rigidezza elastica (attraverso la matrice rigidezza, come visto nei casi statici), anche dal punto di vista inerziale, quindi occorre definire una matrice massa per l'elemento finito.

La matrice massa è una matrice delle stesse dimensioni della matrice rigidezza ed è così costruita:


In riferimento, ad esempio, all'elemento isoparametrico a 4 nodi, la matrice massa è una matrice (8x8) (infatti l'elemento isoparametrico ha 8 gradi di libertà nodali), che, moltiplicata per un vettore di accelerazioni nodali, restituisce le forze da applicare ai nodi affinché l'elemento vada in quella configurazione di accelerazione.Si fa notare che, al contrario, con il termine forze di inerzia ci si riferisce alla forze che il sistema oppone alle variazioni del suo stato di moto, uguali e contrarie a quelle calcolate col suddetto metodo che coinvolge la matrice di massa.

Indicando gli spostamenti in direzione x con u e gli spostamenti in direzione y con v,ogni nodo dell'elemento avrà una sua accelerazione lungo x e lungo y ; il vettore di accelerazione nodale dell'elemento isoparametrico a 4 nodi è:

VETTORE ACCELERAZIONE COLONNA 

questo vettore descrive una configurazione di accelerazione per i nodi. Dalle accelerazioni ai nodi, con le funzioni di forma di elemento, si è in grado di ricostruire l'accelerazione di ogni punto interno all'elemento. Infatti, lungo i lati dell'elemento l'accelerazione varia linearmente secondo le funzioni di forma in una data direzione. Affinché l'elemento abbia questo stato di accelerazione, si devono vincere delle forze di inerzia, pertanto devono essere applicate delle forze sui nodi. In particolare, le forze da applicare ai nodi al fine di portare l'elemento in un dato stato di accelerazione sono contenute in un vettore F, del tipo:

VETTORE F COLONNA  -> .

In pratica, si tratta di una forma multidimensionale del secondo principio della dinamica,

:

In particolare, la terza colonna della matrice massa 8x8 dell'elemento isoparametrico a 4 nodi (associata al 3° grado di libertà, quindi all'accelerazione lungo x del nodo 2) è pensata come vettore di forze che porta il nodo 2 ad accelerare di una accelerazione unitaria sul grado di libertà 3, quindi in direzione x, mentre tutti gli altri nodi hanno un'accelerazione nulla.

L'andamento dell'accelerazione intra-elemento può essere ricostruito dalle funzioni di forma. Se si prende il lato dell'elemento tra i nodi 1 e 2, l'accelerazione varia linearmente tra il valore nullo del nodo 1 e il valore unitario del nodo 2. Se prendo la mezzeria dell'elemento, ho un'accelerazione lineare che va da fino a zero sul lato opposto. Se prendo una porzione a dell'elemento, si ha un'accelerazione pari a , che degrada a zero arrivando sul lato opposto come possiamo notare in figura.

Nodo movimento.png

Le forze necessarie affinché l'elemento acceleri con quella forma di accelerazione sono le forze che compongono la terza colonna della matrice. In particolare, la forza da applicare per ottenere quel determinato stato di accelerazione non sarà una forza pura applicata solo al singolo nodo, poiché così si avrebbe sia un'accelerazione del baricentro dell'elemento che un'accelerazione angolare (una rotazione, che non è prevista).

Elemento rotazione.png

La distribuzione di forze associata a quel tipo di spostamento è stata ricavata in Marc per un elemento semplice indeformato, di massa unitaria (1 tonnellata), e per il quale le coordinate globali coincidono con le e locali (l'elemento che va da coordinate +/-1 a coordinate +/-1 in x e y). Pertanto tale elemento ha un lato di 2 mm. Le forze associate a quel tipo di moto (necessarie a far assumere all'elemento quell'accelerazione) sono tutte forze in direzione x, in ordine di nodo:

,,,.
Elemento forze.png

La risultante è la massa unitaria ovviamente.

NB. Queste forze quindi sono quelle da applicare al nodo per ottenere un preciso campo di accelerazione, sono cioè le forze esterne da applicare all'elemento al fine di vincere le forze di inerzia. Ricordiamo inoltre che tali forze producono un'accelerazione che individua in realtà una traslazione, ma nessuna rotazione, di conseguenza non possono essere considerate come "pure forze".

COME SI CREA LA MATRICE DI MASSA

Bisogna innanzitutto dire che la matrice di massa è:

  • Congruente perchè è costruita a partire dall'energia cinetica della struttura;
  • Definita positiva
  • Simmetrica
  • Non diagonale

Qualora sia necessario avere una matrice massa diagonale, si procede come illustrato di seguito: si divide l'elemento in aree di influenza associando ogni area ai vari nodi, ossia tutta la massa che sta in una specifica area la concentro nel nodo estremale e così faccio per tutte le altre zone di influenza. La matrice così ottenuta prende il nome di matrice massa a masse/parametri concentrati (Lumped Mass). L'unico inconveniente che deriva da questo procedimento è una sovrastima del momento d'inerzia del singolo elemento: questo errore è cospicuo nel caso del monoelemento, ma si riduce a mano a mano che si infittisce la mesh.

Vediamo ora come creare la matrice di massa:

  • Si considera un volume di materiale Ω
  • Un sistema di coordinate globale (x,y,z)
  • Un sistema di coordinate locali (ξ,η,ζ).

Per semplicità di notazione, definiamo delle funzioni di forma di tipo vettore.

è il vettore funzione di forma associato al j-esimo grado di libertà (e non al j-esimo nodo!!), ed è composto da tre componenti, rispettivamente x,y e z.

Funzione di forma dinamica.jpg

Questo è relativo al tridimensionale; nel piano, invece, si hanno solo le prime due componenti, omettendo quindi lo spostamento in z.

Nell'esempio sotto, per un elemento isoparametrico 4 nodi è piuttosto semplice:

Funzioni di forma nodi.png

Notiamo che per i gradi di libertà associati a spostamenti nodali in direzione x sono nulle le associate componenti y e z delle associate funzioni di forma ; allo stesso modo per i gradi di libertà sono nulle le componenti x e z delle associate funzioni di forma. Notare che per tale elemento piano le componenti di spostamento in z risultano uniformemente nulle, per cui sarebbe possibile (ma non strettamente necessario ai fini della formulazione) ridurre le funzioni di forma alle sole componenti di spostamento x e y (funzioni vettore 2d piane). In questo modo ottengo lo spostamento x e y per ogni punto interno dell'elemento.

Il campo degli spostamenti δ*(ξ,η,ζ) è rappresentabile nella forma:

Spostamento interno.png

dove la matrice N è la seguente:

Matrice N.png

ove n è il numero di gradi di libertà dell'elemento e non il numero di nodi.

Non essendo le funzioni di forma dipendenti dalla variabile tempo t si ha che il campo delle velocità è rappresentabile semplicemente come:

Velocità.png

ove δ* è il vettore delle velocità nodali, contenente le derivate nel tempo dei valori di spostamento ai vari gg.d.l.

Considerando l'energia cinetica propria del materiale compreso entro l'elemento nella forma:

Energia cinetica1.jpg

ove ρ è la densità puntuale del materiale, è possibile ivi sostituire la forma generica della velocità puntuale con la definizione della stessa precedentemente calcolata, ottenendo:

Energia cinetica2.jpg

Ricordando infine che non varia nelle variabili di integrazione, otteniamo la forma seguente:

Energia cinetica3.jpg

da cui è possibile ottenere la definizione di una matrice Relazione.jpg detta matrice di massa congruente per l'elemento.


Notare che la matrice è una matrice n*n ove n è il numero di gdl dell'elemento; la sommatoria intrinseca al prodotto tra matrici è una sommatoria sulle componenti di velocità u,v,w nella forma


Eguagliando infine la variazione di energia cinetica (ricordando che la matrice di massa è simmetrica e ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa)

Derivata1.png

alla potenza fornita da un sistema di forze esterne Fest agenti sui nodi dell'elemento (tali forze equilibrano sul nodo le reazioni inerziali, e quindi sono ad esse uguali e contrarie)

Festerne.png

otteniamo la relazione:

Relazione finale.png

Esiste un legame tra la definizione della matrice di massa base energia e la definizione della matrice di massa come forze da applicare per avere una certa accelerazione; infatti, la quantità di energia nell'unità di tempo, cioè la potenza di un sistema di forze esterne che agisce sul sistema è il prodotto scalare tra forza e velocità nel punto di applicazione della forza stessa, anche uguale alla variazione di energia cinetica nel tempo.


In questo modo, si è in grado di calcolare la matrice di massa per un generico elemento finito. Le uniche cose che bisogna conoscere sono la densità in ogni punto dell'elemento e una caratterizzazione delle funzioni di forma, cose di solito note. Si ricorda inoltre che l'assemblaggio viene eseguito con le stesse modalità viste per la matrice di rigidezza. Allo stesso modo in cui si assemblano le matrici di rigidezza degli elementi per arrivare alla matrice di rigidezza del sistema, con lo stesso algoritmo, si assemblano le matrici di massa degli elementi per arrivare alla matrice di massa del sistema.

La matrice di massa è definita positiva poichè l'energia cinetica è sempre strettamente positiva per qualunque norma del vettore diversa da zero, cioè non esiste nessun moto, eccetto quello identicamente nullo, cioè fermo, che abbia energia cinetica nulla. Invece, esistono deformazioni non nulle che diano energia potenziale elastica nulla: sono i moti di corpo rigido. La definita positività vale per la matrice di massa dell'elemento, ma anche, post-assemblaggio, per la matrice di massa del sistema. (Ciò non accade per la matrice rigidezza, la quale ammette vettori spostamento non nulli che diano energia potenziale elastica nulla, vettori spostamento che corrispondono ai moti rigidi del sistema, ed è, a differenza della matrice massa, semidefinita positiva, proprio per questo motivo).

RISPOSTA DINAMICA DI STRUTTURE ELASTICHE: FORME PERIODICHE

Una volta definite le matrici di massa e le matrici di rigidezza, se si assembla tutto, si ottiene un sistema lineare di equazioni differenziali a coefficienti costanti che definiscono l'equilibrio nodale:

Equilibrio.png

dove

  • M è la matrice di massa, simmetrica e definita positiva;
  • C è la matrice di smorzamento viscoso, simmetrica e semidefinita positiva;
  • K è la matrice di rigidezza, simmetrica e semidefinita positiva: tale matrice può essere a termini complessi se si include una quota di smorzamento strutturale;
  • F(t) è il vettore delle forza nodali applicate;
  • x(t) è la risposta nel tempo del sistema


Ci si limita ad osservare F(t) periodiche nel tempo, quindi scomponibili in serie di Fourier nelle varie componenti sinusoidali/cosinusoidali. Senza perdere di generalità, ci si riferisce quindi ad una forzante sinusoidale (che può essere una delle tante componenti di una scomposizione in serie di Fourier della forzante periodica), sfruttando l'ipotesi di linearità; una volta calcolate le risposte delle singole componenti si uniscono con una combinazione lineare ottenendo così la risposta globale del sistema. Si sottolinea che ciò è possibile solo in ipotesi di linearità.

Ft.png

con in generale complesso: è un vettore che contiene modulo e fase o, analogamente, seno e coseno.

è la forzante realmente applicata al sistema.

Tale oggetto è generalmente un numero complesso, quindi contiene una quota di forza reale e una quota di forza immaginaria, applicate, in ogni istante, ad ogni nodo. Si precisa che, considerando solo la quota reale di tale oggetto, e trascurando la parte immaginaria, i passaggi matematici risultano corretti, in quanto la forza realmente applicata ai nodi è solo la quota reale di quell'oggetto.

L'ipotesi di linearità serve per poter dire che a fronte di una forzante precedentemente indicata corrisponda una soluzione del tipo

Soluzione.png

NB: Se il sistema è non lineare, la relazione non è più verificata e quindi al fronte di una sollecitazione sinusoidale ho una risposta che non è più sinusoidale.

Derivando, si ottengono velocità e accelerazione della risposta:



Andando a sostituire nelle equazioni si ottiene:

Equilibrio completo.png

Si semplifica il termine esponenziale, dal momento che la relazione deve valere per ogni t:

Equilibrio semplificato.png

Tale scrittura rappresenta un sistema di equazioni. Se il sistema discretizzato erano n gradi di libertà, quanto ottenuto è un sistema di n equazioni in n incognite complesse: algebricamente, ha la complessità di un sistema 2n x 2n reale. Data ampiezza e fase dell'eccitante per ogni nodo del sistema, risolvendo un sistema lineare di n equazioni in n incognite complesse, ovvero 2n equazioni in 2n incognite, considerando separatamente parte reale e parte immaginaria di ogni equazione e di ogni incognita, è possibile stabilire la risposta del sistema ad una data sollecitazione sinusoidale. Questo tipo di analisi si definisce ANALISI DI RISPOSTA IN FREQUENZA. L'aggiunta del termine "in frequenza" significa che tale analisi viene eseguita al variare della frequenza,infatti al variare di omega cambiano i termini della matrice del sistema e quindi varia il risultato. Di solito inoltre la omega è quella della eccitante. Adesso vediamo come varia la risposta in funzione di omega:

  • Per valori di omega piccoli (sistemi quasi-statici) il termine dominante è K, in quanto C cala con omega e M cala con il quadrato di omega.
  • Per valori di omega elevati, i termini dominanti sono quelli inerziali, che vanno con il quadrato della frequenza dell'eccitante.

Quindi, la risposta è modulata sulle alte frequenze per le componenti inerziali, sulle basse frequenze per le componenti di rigidezza. Tuttavia, qualora si voglia analizzare la risposta del sistema per le forzanti modulate a frequenze prese da un range, è necessario procedere alla risoluzione di un sistema di quel tipo per qualunque frequenza. E' inoltre possibile avere le matrici dei coefficienti dipendenti dalla omega dell'eccitante e al medesimo modo anche l'ampiezza della forzante. Non è una non linearità il fatto che matrici e termine noto siano funzioni di omega. Data ampiezza e fase dell'eccitazione si ha un'equazione lineare nello spostamento. Questo tipo di analisi si usa solitamente per calcolare gli spettri di frequenza. Dalle ampiezze e le fasi di spostamento nodale del sistema ricavo le tensioni interne agli elementi. Il limite di questa analisi è che si basa sull'ipotesi di comportamento lineare del sistema. Dagli spostamenti si trovano facilmente gli stress, poichè dati sinusoidali gli spostamenti pure le tensioni sono sinusoidali, a meno delle tensioni equivalenti di Von Mises perchè non è una composizione lineare.

ANALISI MODALE

Vogliamo studiare moti non nulli della struttura, ammessi in assenza di una specifica sollecitazione.Ciò è l'equivalente dei moti rigidi di un corpo non vincolato. Al fine di avere un sistema che abbia moto periodico non nullo in assenza di forzante è assolutamente necessario che lo smorzamento sia nullo (per avere un moto non nullo che perdura a tempi infiniti senza eccitamento si deve avere smorzamento nullo): C matrice nulla, . Infatti, se lo smorzamento non è nullo, ad ogni ciclo si perde energia e la condizione a lungo termine è sicuramente la stasi.

Analisi modale.png

Tale sistema ha soluzione non banale solo se la matrice è singolare, ossia il determinante della matrice del sistema è nullo per spostamento non nullo ( soluzione banale)

Il determinante è un polinomio in per dove N è il numero di g.d.l. L'ordine del polinomio è il numero di incognite: è un polinomio di ordine altissimo. Le soluzioni sono una serie di per . Si hanno tanti modi propri quanti il numero dei gradi di libertà.

Quello ottenuto è un problema agli autovalori generalizzato: riducendo la matrice massa ad una matrice identità, si ottiene un classico problema agli autovalori. Poiché la matrice massa è definita positiva, è sempre possibile calcolarne l'inversa e ricondursi ad un problema agli autovalori standard; tuttavia, non si calcolerà mai l'inversa di una matrice massa. Gli algoritmi tendono sempre a risolvere il problema generalizzato e mai a ricondursi al problema standard. Si determinano quindi gli autovalori e si determina per ogni autovalore l'autovettore associato.

Essendo la matrice non a rango pieno, la soluzione non è unica: è autovettore anche qualsiasi multiplo dell'autovettore trovato, in quanto gli autovettori sono sempre definiti a meno di una costante arbitraria. Si precisa che l'algoritmo numerico non restituisce la costante arbitraria all'interno del risultato, ma fornisce sempre uno specifico autovettore; è opportuno ricordarsi che ogni autovettore rappresenta, in realtà, un'infinità di autovettori, tutti definiti a meno di una costante.

Inoltre, autovettori ed autovalori non nascono ordinati. Vengono ordinati sulla base dell'autovalore: gli autovalori vengono solitamente restituiti in ordine crescente in modulo. Di conseguenza, anche le frequenze vengono restituite in ordine crescente. Il primo autovettore è il primo modo proprio di una struttura (ovvero quell'autovettore associato all'autovalore più basso, , la frequenza associata più bassa è .

Vediamo cosa accade eccitando un sistema smorzato alla prima frequenza propria (cioè con una forzante avente pulsazione esattamente uguale ad una delle pulsazioni proprie):

 

(con a che indica l'ampiezza di oscillazione,ossia uno scalare che va a moltiplicare l'i-esimo modo proprio/autovettore)

Analisi modale 2.png Il primo termine è per definizione nullo, quindi se il sistema è in risonanza i termini di massa e di rigidezza si elidono a vicenda.

Risulta:


Quindi:

Costatante a.png

indica il rapporto tra termine di accoppiamento tra il modo proprio e l'eccitazione (ampiezza di oscillazione nulla solo se la forzante è ortogonale al modo proprio) e il termine di smorzamento.

Riassumendo: abbiamo un sistema non smorzato. Caratterizziamo il sistema in forma non smorzata e non eccitata. Otteniamo e in assenza di smorzamento e forzante. Ci riportiamo al sistema nella forma più generale, con forzante e con smorzamento e verifichiamo la non ortogonalità tra forzante e modo proprio e se il sistema è in risonanza.

Esempi di sistemi dinamici: il diapason

Si consideri un classico sistema dinamico: il diapason. Il diapason è un oggetto trabeiforme geometricamente simmetrico, questo porta ad avere modi propri simmetrici o antisimmetrici.

Il primo modo di vibrare è un moto simmetrico delle aste, circa 440Hz.

Diapason primo modo.png

Il secondo modo è un moto antisimmetrico, moto coordinato delle aste insieme, leggermente più basso.

Diapason secondo modo.png

Nel seguito, si analizzano svariate condizioni di eccitazione e di smorzamento.

Con forzamento verticale ed uno orizzontale alla prima frequenza propria in un punto fermo nel primo modo di vibrare, nel prodotto scalare tra la forzante e il modo proprio, gli unici termini non nulli sono quelli di forzamento nelle due direzioni di quel nodo per gli spostamenti di quel nodo nelle due direzioni. Il loro prodotto però è nullo essendo nullo lo spostamento nelle due direzioni di quel nodo.


Pertanto, risulta che il sistema di forze, sia esso una forza verticale o orizzontale, è ortogonale all'autovettore associato al primo modo proprio. Non esistono gradi di libertà dove sono entrambi nulli, per cui il prodotto scalare possa avere un contributo non nullo.

Quando si ha un modo di vibrare della struttura, si hanno sempre dei nodi. Un nodo è un punto che, per un dato modo di vibrare, non si muove. Se si applica una forza al nodo, non si eccita il modo di vibrare perché, per eccitare il modo di vibrare, è necessario compiere lavoro sullo spostamento associato al modo. Se si applica una forza ad un punto fermo, non si compie lavoro, quindi non si fornisce energia al sistema; pertanto, non si può eccitare quel modo.

Per eccitare il modo di vibrare è necessario far compiere lavoro sul nodo cui è applicata la forzante.

Allo stesso modo, applicando un sistema di forze antisimmetrico su una struttura che ha modo proprio simmetrico, a quella determinata frequenza, il lavoro immesso da una parte viene sottratto dall'altra e il numeratore che determina l'ampiezza è nullo, non eccita quindi il modo proprio.

Viceversa un sistema di forze non antisimmetrico, quindi simmetrico o non simmetrico, è in grado di eccitare il sistema alla sua frequenza propria.

Finora, si è analizzato il numeratore del rapporto:

Costatante a.png

Adesso si consideri il denominatore del medesimo rapporto.

Ovviamente, qualora non ci sia smorzamento, C è nullo, dando quindi una risposta infinita appena il numeratore è diverso da zero.

Si consideri ora un sistema che presenta uno smorzatore che non viene coinvolto nel primo modo proprio; esso non lavora quando si eccita il sistema a quel modo (è quel che accade quando lo si afferra con le mani).



Diapason smorzatore esterno.png

Questo tipo di smorzatore agisce però sul secondo modo, al quale sottrae energia.

Viceversa ponendo uno smorzatore tra le aste a sbalzo, questo sottrae energia al primo modo di vibrare mentre non è in grado di assorbire energia dal secondo modo di vibrare.


Diapason smorzatore interno.png

Analisi di risposta per sovrapposizione modale

Il modo proprio e la frequenza propria dicono a quali frequenze si possono avere le risonanze (questo viene indicato dalla frequenza propria) e se la forzante applicata è o meno ortogonale (se c'è o meno accoppiamento tra modo di vibrare ed eccitazione). Un'ulteriore cosa che permettono di fare è trasformare un sistema ad n gradi di libertà in n sistemi ad un singolo grado di libertà, molto più gestibili. Di seguito si riportano le condizioni di ortogonalità base per la matrice masse e rigidezza, valide per modi di vibrare che hanno autovalori distinti:

Ortogonalità.png

dove è di Kronecher, che vale 0 se i è diverso da j e vale 1 se i è uguale a j. Si precisa che la condizione di ortogonalità non vale per gli autovettori: in generale, gli autovettori non sono ortogonali tra loro, ma sono ortogonali in base massa e in base rigidezza. L'ortogonalità base matrice identità non è valida.

Tali proprietà valgono strettamente solo se gli autovalori sono tutti distinti, cioè se la matrice non ammette due autovalori uguali. In generale, è facilissimo che strutture simmetriche abbiano autovalori non distinti. In un sistema Elementi Finiti, è facile rendere gli autovalori distinti: basta perturbare leggermente il sistema. Ad esempio, per un sistema perfettamente simmetrico, si hanno autovalori non distinti; è sufficiente creare piccola perturbazione (si sposta un nodo nella mesh) e si ottiene un oggetto non più perfettamente simmetrico. Dando una lieve perturbazione, si elimina il problema degli autovalori non distinti. Al contrario, se la struttura non è simmetrica, è difficile che gli autovalori siano non distinti. Con autovalori tutti distinti e con frequenze proprie tutte distinte, le condizioni scritte sopra valgono.

Poichè gli autovettori sono definibili a meno di una costante arbitraria, si può assegnare a ciascun autovettore un coefficiente che normalizzi a massa unitaria :

 con 



Si può scrivere una matrice con gli autovettori per colonne:




Poiché tutti questi vettori sono, dalle proprietà di ortogonalità,linearmente indipendenti, questa matrice costituisce una base (un autospazio) per il sistema degli spostamenti, con la quale è possibile esprimere la configurazione deformata. In particolare, è possibile rappresentare gli spostamenti non più nella base naturale (che può essere definita base nodale, in cui una delle forme base è un nodo che si sposta in una direzione e gli altri no), ma, per descrivere la configurazione deformata, è possibile scrivere la base per un sistema di coordinate .

Il vettore della deformata diventa:

Spost analisi modale.png

dove sono le coordinate modali.

Il primo elemento del vettore non dice quanto si sposta in il primo nodo, ma quanto il sistema si sposta secondo il primo modo proprio.

Usando le nuove coordinate per rappresentare un modo, le equazioni di equilibrio diventano:


Si hanno relazioni di ortogonalità su M e su K. Non c'è però alcuna ortogonalità su C, cosa che dà problemi a usare questo sistema di coordinate. E' necessario quindi scrivere C nel seguente modo:


semplificando moltissimo la matrice di smorzamento: si passa da g.d.l. a 2 g.d.l.: e . Questo tipo di rappresentazione della matrice di smorzamento è definita rappresentazione di Rayleigh ed è necessaria per procedere. In pratica, si impoverisce la matrice di smorzamento: così facendo, gli autovettori risultano ortogonali anche sulla matrice di smorzamento, essendo ortogonali in M e in K. La proprietà di ortogonalità si mantiene, in quanto C è combinazione lineare di M e di K, tuttavia essa è una condizione che difficilmente si riscontra pura nella realtà (eccetto il caso di smorzatori strutturali), ma sulla base della quale possono comunque essere modellati gli smorzamenti per semplificare notevolmente il sistema.

Procedendo con una premoltiplicazione per matrice, si ha:


Con vari passaggi si ottiene:


con:


  

vettore dei termini di accoppiamento;

  

matrice diagonale con componenti con

Tutte le matrici ottenute sono diagonali, quindi la matrice del sistema, somma di matrici diagonali, è anch'essa diagonale. Questo fa si che le N equazioni che compongono il sistema siano tutte indipendenti.

In particolare, si hanno N equazioni nella seguente forma:


Questa equazione è la medesima di un oscillatore monodimensionale la cui forma completa è:


La penultima scrittura è la forma algebrica associata al sistema. L'ultima scrittura è la forma differenziale.

Il termine: è il cosiddetto damping ratio (rapporto tra lo smorzamento del sistema e lo smorzamento critico).

Essendo funzione di un indice i, la formula a cui si è giunti sta ad indicare che si ha un oscillatore per ogni modo proprio; quindi per ogni modo proprio, è possibile considerare l'oscillatore in forma indipendente. Una volta trovata l'oscillazione per ogni modo proprio, è possibile combinarli tutti ed ottenere così la risposta del sistema.

Per fare ciò, è necessario che i modi propri siano normalizzati rispetto a massa unitaria. (Il Marc restituisce i modi propri, scalati con entità a massa unitaria)

Senza la semplificazione della matrice di smorzamento non sarebbe stato possibile ottenere una semplificazione del sistema realizzata disaccoppiando le equazioni.

Bibliografia

Dispense fornite dal Professor Bertocchi, consultabili nel materiale didattico del corso di Progettazione assistita 2013/2014 attraverso i seguenti link:

-Matrice massa https://cdm.ing.unimo.it/files/progettazione_assistita/materiale_didattico/dispensa_matrice_massa_bozzabozzabozza.pdf

-Dinamica https://cdm.ing.unimo.it/files/progettazione_assistita/materiale_didattico/mia_dispensa_dinamica_bozzabozzabozza.pdf