PASM:Dinamica delle strutture

Da CdM_unimore.

Stima di risposta dinamica a partire dai risultati di una analisi modale

Si suppone che il modo sia restituito in forma normalizzata a massa unitaria(il modo proprio ci dice gli spostamenti della struttura deformata,quindi ci dice come è la struttura deformata stessa).

Notiamo qui che la massa modale ha le dimensioni di un momento d'inerzia (tonn*mm^2 nel sistema N,s,mm,tonn), e corrisponde alla definizione dei momenti d'inerzia di un corpo rigido qualora il modo associato sia analogo ad un moto di corpo rigido (es. rotazione attorno ad asse x).

File:Test stima risposta da modale.zip.

Lamella in alluminio, 100x10x1 mm, incastrata ad un estremo, eccitata da una forza sinusoidale di modulo F=1.2N agente in direzione normale ed applicata in corrispondenza di un vertice all'estremo libero mediante link RBE3 coinvolgente i nodi di estremità libera. Modellata con 20x4 elementi shell flesso-membranali alla Kirkhoff (no deformata tagliante).

Modi propri:

modo freq. [Hz] denominazione spostamento nodo applicazione carico [mm]
1° modo 83.27 1° modo flessionale 862.9
2° modo 522.8 2° modo flessionale -863.7
3° modo 829.5 1° modo torsionale 1085.3
4° modo 1477 3° modo flessionale -867.5
5° modo 1627 1° modo flessionale traverso 0.0
6° modo 2544 2° modo torsionale 1135.6
... ... ... ...

Il cedimento statico della struttura sotto un equivalente carico statico è pari a 3.426mm.

Supponiamo ora che la struttura operi in condizioni di lieve smorzamento, quantificato in frazione ζ=0.01 dello smorzamento critico.

Procedo per riferimento alla creazione di un loadcase di risposta in frequenza, con eccitante modulata sul range 1..2000 Hz. Lo smorzamento viene supposto in forma di Rayleigh, e nel caso specifico attribuito alla sola componente rigidezza.

Sotto tali ipotesi, il sistema risulta diagonalizzabile. Definito un sistema coordinate modali

t.c.

è l'i-esimo modo proprio(quindi quello ottenuto con l'i-esima pulsazione naturale e a quest'ultima è associata la i-esima frequenza), normalizzato a massa unitaria, ossia in maniera tale che , ove 1 può essere convenientemente pensato non come un numero puro, ma come avente dimensionalità [massa]*[lunghezza]^2.

Marc restituisce nativamente i modi in forma normalizzata a massa unitaria (vedi output file).

In condizione di risonanza per i singoli modi, risulta

ove il termine di accoppiamento è definito per la forza concentrata come

ove è lo spostamento della struttura secondo il modo proprio i-esimo al punto di applicazione della forza, nella direzione e nel verso della forza.

(OLD!!!!)

modo termine di accoppiamento , [N*mm] fattore di amplificazione del modo normalizzato, a risonanza ampiezza spostamento punto di applicazione, stimato ampiezza spostamento punto di applicazione, risposta in freq.
1° modo 1035.36 0.1891143659 163.17 163.19
2° modo 1034.64 0.004794335 4.134 4.138
3° modo 1301.64 0.0023958983 2.599 2.601
4° modo 1030.32 0.0005981656 0.514 0.516
5° modo 0 0 0 0.061 (no picco)
6° modo 1359.48 0.0002660412 0.3014 ///
... ... ... ... ...

Per rilevare il picco di risposta in frequenza a partire da un campionamento equispaziato è stata usata la formula

ove y1,y2 e y3 sono tre campionamenti successivi equispaziati, e nel caso specifico y2 è il valore massimo campionato.

Volendo rilevare la risposta in frequenza per una generica frequenza f e non solamente in corrispondenza delle risonanze si può utilizzare la seguente formula

ove

Elemento Piastra a 4 nodi alla Kirchhoff

Piastra.JPG


Gli assi locali sono coincidenti con gli assi globali. La piastra non si estende in z (o ) perchè non ho bisogno di avere una caratterizzazione anche lungo quell'asse. La piastra possiede ovviamente una massa ed avrò bisogno quindi di una matrice massa.


Nodo1 (gdl): Spostamenti Rotazioni

               
               
               

Nodo2 (gdl):

               
               
               

Definiamo per il Nodo1:

= ; = ; = ; = ; = ; =

Definiamo per il Nodo2:

= ; = ; = ; . . .

Questo elemento ha in generale 24 gdl (alcuni di traslazione, altri di rotazione) e 4 nodi: tale elemento avrà alla peggio 24 funzioni di forma ma sicuramente più di 4. In un ISOPARAMETRICA a 4 nodi ciò non succede perchè le funzioni di forma sono solitamente le solite 4.

La formulazione della matrice massa sarà:

dove j è l'indice che scorre sui gdl e non sui nodi. Considerando l' dove l'11esimo gdl è la rotazione in y del nodo 2.


N.PNG


Piastra 2.JPG


Se analizzo il moto del punto, il piano medio si alza e ruota.

Se analizzo il moto del punto sulla normale, secondo la funzione di forma 11 , questo punto ha spostamento in z.

Poichè la superficie del piano medio si è inclinata, ho una quota di spostamento in x e in y.

Le funzioni di forma che definiscono il moto sono espresse nella forma:

Funzionemoto.png


In questo modo si definisce il moto di ogni punto all'interno dell'elemento.