Marc Mentat 4

Da CdM_unimore.

Si definiscono le due porzioni di storia di carico, pertanto la simulazione acquisisce una nuova concezione, in quanto si osserverà una risposta della geometria all'evoluzione di un caricamento che si evolve nel tempo. Si definiscano la storia di carico e i parametri del metodo Newton-Raphson:

Loadcases--> New--> Static

In questo caso Static deve essere inteso per quasi statico e non per statico, cioè il sistema evolve lentamente, in tempi infinitamente lunghi, tali da poter trascurare le forze inerziali e viscose. Se si volesse considerare le componenti inerziali e viscose è possibile utilizzare il "Dynamic Modal". Viene inserito in 'Total loadcase time' 1, che sta per un secondo (in realtà è già così di default). Quindi storia di carico di un secondo analizzata in 50 steps (di default). Ogni step corrisponde a 1/50 di secondo, ma siccome è stata impostata la modalità static e non sono presenti caricamenti che coinvolgono la variabile temporale, gli step si corrispondono a una semplice successione. Poichè si parla di Newton-Raphson occorre definire dei criteri di convergenza della soluzione: le due possibilità sono ai residui e agli spostamenti, impostare un criterio assoluto ha il significato di un limite assoluto di tolleranza il cui valore fornisco(poco usata).

Il criterio di convergenza ai residui dichiara la soluzione dell'iterazione di Newton-Raphson se il disequilibrio nodale è sotto un certo valore di tolleranza (che può essere assoluto o relativo) mentre la convergenza agli spostamenti relativa (quella maggiormente usata) definisce la soluzione a meno di una tolleranza sugli spostamenti, ovvero se gli spostamenti all'iterato k+1 differiscono dagli spostamenti all'iterato k a meno di un valore epsilon.

Properties--> Total Loadcase Time(quanto dura il caricamento)
              Costant Time Step(quanto tempo tra ogni step)
              # Step(numero degli step)
              Convergence Testing(fissiamo la tolleranza voluta)
Loadcases.jpeg

Si deve imporre una tolleranza agli spostamenti dell'1%

Convergence Testing--> Relative(tolleranza di tipo relativa)
                       Displacements--> Relative Displacement Tolerance


Così facendo, quando la spostamento è minore dello spostamento della configurazione precedente di 0.01 (spostamento relativo quindi), vengono dichiarati i criteri di convergenza del metodo Newton-Raphson e si fa in modo di fermare il calcolo:

Loadcases2.jpg

Per capire meglio quest'ultima affermazione, si consideri una semplice struttura caratterizzata da una trave incastrata con forza normale al suo asse e applicata all'estremità opposta rispetto all'incastro. In caso di carichi deboli, la trave lavora a pura flessione, mentre in caso di carichi forti la trave tende a lavorare (quasi) a puro sforzo normale.

Trave1loadcases.png

Questo carico viene applicato tramite un numero di steps compresi tra "0" ed "n" (step 0 = valore nullo, step n = valore massimo) Si supponga di aver calcolato la struttura fino allo step caratterizzato da una forza P(i) e che s'ipotizzi che in tal caso il Newton-Raphson sia andato a convergenza (il risultato lo prendo come buono). Si consideri la relativa trasformata:

Trave2loadcases.png

L'intento però è quello di calcolare lo step di carico P(i+1); essendo il passaggio da P(i) a P(i+1) un Newton-Raphson, si utilizzi il risultato di P(i) come risultato della P0(i+1) (ossia nell'iterazione numero "zero") e si proceda nello svolgimento delle varie iterazioni.

In particolare, considerando il caso generale d'iterazione "j" e il suo abbassamento durante tale iterazione, se tale spostamento "a" risulta abbastanza ridotto rispetto allo spostamento relativo al singolo incremento di carico "b" (nel nostro caso a <= 0.01 b) , si dichiara la convergenza agli spostamenti relativa, ovvero, lo spostamento ottenuto dall'ultima variazione di carico, l'utilizzo come paragone per la convergenza agli spostamenti relativi.

Trave3loadcases.png

Osservazioni:

  • La convergenza agli spostamenti è sconsigliata in caso di enormi spostamenti, come ad esempio un corpo in sollevamento con tre catene (molto instabili).
  • La convergenza ai residui relativa non è da utilizzare nel caso di strutture auto-equilibrate poichè il termine di paragone è la massima relazione vincolare in modulo, che nel caso considerato sarà numericamente nulla.


Piano B

In Solution control si imposta il massimo numero di step entro cui Newton-Raphson deve convergere (qui 10), altrimenti il software passa al piano B che è definito come tentativi con valori del carico pari a 1/50 (riduco quindi il salto di carico), sperando di ottenere la convergenza. In figura si è lasciato il valore 10 come numero di dimezzamenti ammissibili (corrispondente quindi a 10x10=100 iterazioni Newton-Raphson); qualora dopo questi dimezzamenti non si sia ottenuta la convergenza, il sistema darà errore. Marc implementa quindi un sistema iterativo Newton-Raphson di tipo adattativo.

All'interno di solution control è possibile selezionare la casella non-positive-definite la quale pone un rimedio ai moti rigidi ovvero tenta di risolvere un il problema agli spostamenti nonostante la matrice di rigidezza non sia definita positiva, ma è bene non usarla in quanto non si conosce bene il suo funzionamento.

Per creare il loadcase di rimozione del forzamento copio i parametri del caso di forzamento tramite il tasto COPY.

FOCUS: cliccando su Applied Loads e poi spuntando il riquadro relativo alla pressione relativa, la si rimuove; anche se è pressochè innocua, altererebbe solo le reazioni vincolari, e comunque la si esclude in quanto il controllo non è sulla pressione.

Applied loads.png

Adesso si vada a costruire un nuovo job che contempli l'applicazione graduale del nostro forzamento e il successivo scarico.

Definite le due frazioni di storia di carico, si edita un nuovo Job(2) sempre di tipo strutturale con proprietà del tipo: Initial loads tutto le stesse "conditions" a meno della pressione relativa; vengono selezionati i due loadcase ovvero forzamento e rimozione dello stesso.

Job load.png

In Job Results si seleziona:

  • Stress;
  • Total Strain;
  • Plastic Strain (quota plastica di deformazione, mentre quella elastica non ha molto senso);
  • Equivalent Von Myses Stress.

Andando in Custom definisco le quantità nodali da considerare nei risultati includendo:

  • Displacement;
  • External Force;
  • Reaction Force;
  • Tying Force (forze di collegamento, ossia le forze trasmesse dai link).

In fondo al menù che si considera si vede l'opzione di fornire i risultati per ogni iterazione (Iterative Results: ci indica lo stato della struttura ad ogni iterazione); questo viene utilizzato per fare un'analisi solo quando il metodo di Newton-Raphson non dà convergenza (di default è off comunque e lo lasciamo tale). Lanciando il programma e leggendo i dati del Run Job, si riscontra la bontà dell'analisi dal messaggio "3004" in Exit number.

Analizzando per primo il caso di equivalent Von Mises Stress, e scorrendo i 50 incrementi che il metodo ha utilizzato, noto un progressivo incremento della zona del mozzo a tensione più elevata fino a che, arrivato al valore 50 con gli incrementi, leggo il valore definitivo. I punti dall'1 al 49, non hanno valenza significativa ai fini dell'analisi, a meno che il mozzo non stia snervando con non accettabile rapidità. Si nota che lo stato tensionale all'albero è molto inferiore( sempre al valore 50 di incrementi), ciò perchè ha plasticizzato per primo il mozzo che quindi sottrae tensione all'albero. Inoltre si evidenzia una tensione massima che è superiore a quella di plasticizzazione del materiale, ciò a causa del fatto che il risultato è fornito di default con estrapolazione Linear (integrazione Gaussiana), quindi si imposta un'estrapolazione 'tradotta' (clicco su Method-->Translate) e vedo che ora la tensione massima è di poco inferiore a 360 Mpa ovvero la tensione di plasticizzazione dell'acciaio. Viene evidenziato dalle analisi che circa l'80% dell'interferenza vanno in deformazione al mozzo. Ora siccome in questo caso impostando gli spostamenti e non la pressione di forzamento, quest'ultima è un risultato o meglio non è nota a priori. Per beccarla posso vedere le tensioni al bordo interno dove ho valori diversi ma al più del 10%, da usare con intelligenza. Oppure prendendo le forze sui nodi esercitate dai link sulla struttura (risente comunque degli errori di discretizzazione), quindi considero la forza sui 4 nodi totale,la si moltiplica per l'area della faccia e ottengo la pressione. Ora i risultati relativi alla fase di rimozione del forzamento, quindi procedo dallo step 50 allo step 100 e noto che scorrendo il mozzo dapprima si scarica ma poi torna a caricarsi arrivando allo step 100 tutt'altro che scarico, ma vi sono delle tensioni residue piuttosto importanti.

Per visualizzare correttamente la zona plasticizzata e la deformata occorre impostare un fattore di scala manuale (altrimenti Marc lo aggiorna per ogni step di carico) e visualizzare la Von Mises stress con una scala manuale con valore massimo 359.9. Così facendo tutte le zone grigie (di fondoscala) sono quelle plasticizzate. Andando di step in step si individua l'inizio della plasticizzazione all'incremento 20 circa, corrispondente al 40% di carico totale. Una alternativa è visualizzare lo scalare equivalent of plastic strain il quale rimane nullo finché non si presenta deformazione plastica.

Errori di modellazione:

  • Non avendo considerato l'incrudimento del materiale i valori tensionali riportati risultano sottostimati rispetto al caso reale.
  • La zona plasticizzata si dilata assialmente, ovvero in direzione z. Questo fenomeno vanifica la validità del modello in quanto non è possibile modellare l'intero forzamento albero mozzo con una fettina assialmente unitaria in quanto il materiale compenetra quello della fettina accanto. Per rappresentare correttamente il collegamento albero mozzo occorre quindi estrudere la fettina per lo spessore assiale del collegamento. Ci si poteva aspettare tale risultato in quanto un tubo è in tensione piana solo quando vale la teoria dell'elasticità.
  • Le tensioni residue all'incremento 100 sono legate al fatto che, dopo aver assistito a snervamento quindi deformazione plastica, si impone il riazzeramento del gioco fra albero e mozzo. Quindi dalla situazione deformata, per riprendere il gioco il servo-link dovrà tirare albero e mozzo uno verso l'altro, generando le tensioni radiali che vediamo.

Per visualizzare l'andamento delle Tying Force di un nodo interno al mozzo occorre utilizzare un history plot all'interno del menù Results.

Set location -> seleziono nodi di cui voglio conoscere la storia (nel nostro caso un nodo interno del mozzo) Seleziono all incs in modo da immagazzinare i dati relativi a tutti gli incrementi di carico History plot curves -> variabile X = tempo; variabile Y = Tying Force X(radiale).

Per rimuovere il forzamento senza andare ad introdurre delle tensioni legate alla necessità di recuperare il gioco radiale è possibile impostare un nuovo loadcase rimuovo_correttamente_forzamento dove di va a selezionare all'interno di Properties -> Load, la casella in basso gradually release load e si deseleziona spostamento_ausiliari.

Gradually release load.jpeg


Modellazione albero-mozzo con elementi assialsimmetrici

Si modella ora il forzamento albero-mozzo con la seguente geometria.

Forzamento assialsimm geom.jpeg

La geometria e mesh in figura sono state create attraverso i seguenti passaggi:

-mesh generation -> nodes -> add; quelli per l'albero hanno coordinate 0,0,0 20,0,0 20,10,0 e 0,10,0; poi quelli per il mozzo(il quale viene sfasato in z per permettere la distinzione fra i due corpi) 0,10,10 0,20,10 10,20,10 10,10,10;

-si prosegue creando gli elementi, selezionando sempre i nodi in senso antiorario: elements -> add -> element class:quad(4);

-si suddividono i lati dell'albero: mesh generation -> subdivide -> divisions(64,32,1) -> elements e si seleziona l'albero;

-si suddividono analogamente i lati del mozzo: mesh generation -> subdivide -> divisions(32,32,1) -> elements seleziono il mozzo e faccio si seleziona il mozzo.

Ora occorre creare i links che collegano l'albero al mozzo. Si procede come nel modello precedente creando un nodo di controllo e un servo-link; il nodo di controllo sarà posizionato a 0,10,5. Si crea il link tra i nodi di albero, mozzo e il nodo ausiliario come nel modello con la fettina di tubo; l'unico cambiamento risiede nel fatto che, per come è costruita la mesh, in questo modello lo spostamento radiale dei componenti consiste nel grado di libertà 2, ovvero lo spostamento lungo l'asse Y. Il link creato viene poi duplicato attraverso il menù Duplicate all'interno di mesh generation, con traslazione in X di 10/32, ripetuto 32 volte e come elementi da duplicare si seleziona servos ed il servo-link creato. Si noti come la duplicazione di un servo-link duplica direttamente anche il nodo ausiliario.

Gli elementi che sono stati utilizzati per creare la mesh in figura sono elementi assialsimmetrici quadrilateri a 4 nodi. Tali elementi appaiono come elementi piani, ma tramite l'apposita proprietà geometrica corrispondono ciascuno ad un anello. L'impostazione della proprietà geometrica di assialsimmetria avviene nel menu geometric properties selezionando:

new -> structural -> axisymmetic

e selezionando tutti gli elementi della mesh.