Lezione 36

Da CdM_unimore.


Il concetto di piastra

Finora, per semplificare la trattazione di strutture fisiche tridimensionali, si è sfruttata la teoria della trave, studiata approfonditamente in scienza delle costruzioni. Esistono altre teorie che facilitano lo studio al calcolatore di problemi in tre dimensioni (volumi).

Innanzitutto si intende piastra sottile una struttura in cui una dimensione, in particolare lo spessore (h), è trascurabile rispetto alle altre due.

Di questo oggetto esistono diverse denominazioni, differenziate da alcuni concetti. Si parlerà di:


Lastra

Se il corpo è sottile, planare e caricato entro il piano. Quindi questo corpo non flette e non torce (tensione piana).


Fig12.jpg


Piastra

Se il corpo è sottile, planare e caricato fuori dal piano.


Fig13.jpg


Guscio

Se il corpo è sottile, non planare, cioè dotato di curvatura, e caricato ovviamente fuori dal piano.


Fig14.jpg


In inglese il termine per esprimere lastra e piastra è univoco ed è plate, mentre il guscio è denominato shell. Si noti come la trattazione teorica generale degli elementi shell è estremamente complicata, ma se la mesh risulta molto fitta possono essere ricondotti a elementi di tipo piastra in quanto la curvatura degli stessi risulta trascurabile. Quindi per semplicità saranno trattati teoricamente solo gli elementi piastra. Il software MARC, tuttavia, utilizza solamente la forma generale, ovvero gli elementi shell.

Teoria della piastra

Si considera un concio elementare in parete sottile:

Fig16.jpg


Si considera l'ipotesi di spessore uniforme o poco variabile così che possa essere individuato sull'elemento indeformato un piano medio geometrico (luogo dei punti medi dello spessore), sul quale verranno definiti un origine (generalmente al centro dell'oggetto) e gli assi x e y di riferimento locale. L'asse z, invece, sarà normale al piano. E' fondamentale che in z si trovi la dimensione minore dell'elemento, ovvero lo spessore h. Mentre la direzione di z è univocamente determinata, quella di x e y è variabile, infatti è possibile prendere una terna ruotata attorno all'asse z a piacimento. Si noti l'importanza del riferimento locale, in quanto il MARC restituirà i risultati (stato tensionale,ecc.) rispetto alle componenti dello stesso.

Consideriamo un punto P generico appartenente al volume della piastra, con coordinate P(x,y,z), e la sua proiezione sul piano medio Q di coordinate Q(x,y,0). Va specificato inoltre che se la piastra fosse stata curva, il sistema di riferimento sarebbe riferito localmente rispetto al piano tangente al punto considerato P.


Si introducono le seguenti ipotesi:

  • Ipotesi di spessore sottile: è importante ricordare che lo spessore deve essere notevolmente inferiore rispetto alle altre dimensioni dell'intera piastra, non rispetto alle dimensioni del concio elementare.
  • Ipotesi di piccoli spostamenti: gli spostamenti sono tanto piccoli da poter essere trattati come infinitesimi. E' cosi possibile considerare e .

Questa ipotesi è necessaria per la trattazione teorica mentre non lo è per quella agli elementi finiti secondo la quale, invece, le deformazioni devono essere piccole ma possono esserci delle grosse roto-traslazioni.

  • Ipotesi Cinematiche (forma analoga alla conservazione delle sezioni piane nella teoria della trave):

- Ipotesi (più restrittiva) alla Kirchhoff: preso il punto P che nell'elemento indeformato è connesso al punto Q tramite un collegamento rettilineo normale al piano medio, esso dovrà rimanere sulla verticale di Q anche nella configurazione deformata. Inoltre, in prima approssimazione, la coordinata z di P deve rimanere costante. Si noti come l'insieme di punti con la stessa proiezione Q costituisca un corpo rigido, a meno della strizione, andando quindi in contraddizione. Quest'ultima tuttavia è trascurabile in quanto di ordine superiore al primo. Secondo questa configurazione la piastra non ammetterà taglio e per questo viene definita puramente flessionale o flesso-membranale. Su Marc l'elemento che implementa questa teoria è l'elemento 139.

Fig17.jpg

- Ipotesi (addolcita) alla Mindlin: analogamente al caso precedente P rimane sulla verticale, ma non è detto che la verticale rimanga perpendicolare al piano medio. Permette quindi la modellazione della deformazione tagliante. La piastra è quindi denominata flessotagliante-membranale. Su Marc l'elemento che implementa questa teoria è l'elemento 75. Nel caso della piastra flessotagliante la deformazione lungo lo spessore deve essere costante in modo tale che gli spostamenti siano lineari. Il programma Marc implementa entrambe le teorie, ma di default utilizza l'elemento 75, cioè l'ipotesi alla Mindlin.


Per semplicità verrà trattata teoricamente solo l'ipotesi di Kirchhoff.


La piastra nella formulazione alla Kirchhoff

Si consideri la vista laterale della configurazione indeformata di un tratto di piastra:

Fig18.jpg

Spostamenti

Tramite la Teoria di Kirchoff è quindi possibile descrivere il moto di un generico punto P tramite la sua proiezione Q. Considero il punto P e la sua quota "z" a cui è associata la proiezione Q.

Definiamo le componenti di spostamento per i punti P e Q:




Per una semplificazione grafica si effettua una sostituzione simbolica:

Si consideri adesso la forma deformata:

Fig19.jpg

In figura ux e w rappresentano le traslazioni (rispettivamente lungo x e lungo z) del punto Q nel passaggio da indeformata a deformata. P' e Q' saranno i punti P e Q nella configurazione deformata. Si tracci in Q' la tangente al profilo deformato. L'angolo tra la tangente e l'asse x è esprimibile in funzione dello spostamento normale al piano medio del punto Q e, in particolare, poiché siamo in presenza di piccoli spostamenti l'angolo può essere scritto come .


Inoltre per ipotesi P' rimane alla stessa distanza z dal punto Q' .E' così possibile scrivere le relazioni esistenti tra i punti P e Q:



In questo modo è possibile definire lo spostamento di un qualunque punto appartenente alla piastra.

Si noti che i secondi termini delle prime due espressioni sono correzioni date dalla rotazione, mentre il secondo termine della terza espressione risulta nullo per l'ipotesi di piccoli spostamenti.

Deformazioni

E' molto più interessante conoscere le deformazioni: .



In particolare:




E' possibile scrivere queste quantità in forma compatta:



è il vettore delle tre deformazioni membranali del piano medio.



è il vettore delle curvature: le prime due flessionali e la terza torsionale.


Da cui il vettore risulta essere uguale a:



Tensioni

Per il calcolo delle tensioni si utilizza la matrice del caso di tensione piana che considera una libera strizione, mentre per l'ipotesi di Kirchhoff il segmento rimane inesteso, cioè non si considera strizione. Per non pensare ad un conflitto tra i due aspetti si può immaginare che ogni sezione parallela al piano medio venga saperata dalle altre in più strati, eliminando la continuità. Successivamente si applica in ogni sezione la relazione e, una volta conclusa la simulazione, le sezioni vengono ricongiunte ripristinando la continuità cinematica in direzione z.



Utilizzando la relazione precedente e la nomenclatura introdotta precedentemente:




Si può notare che la tensione è lineare in z per cui si ottiene un andamento della tensione analogo all'andamento a farfalla delle travi.

Flussi

Adesso si cerca di capire come un concio di piastra interagisca con gli elementi adiacenti,in modo analogo a come si farebbe con due conci ravvicinati di trave. Sono presenti sei sollecitazioni differenti per tipologia e direzione:

Definiamo il vettore Flusso degli Sforzi - q come:




La sua unità di misura è il N/mm. Per attribuire un significato a questa quantità, si può pensare di creare un taglio unitario normale all'asse x locale.

Fig20.jpg

Allora la componente qx del vettore q può essere interpretata come la risultante dei carichi sul taglio unitario.


Analogamente definiamo il vettore Flusso dei Momenti - m:




dove mx = Mxy è un momento flettente agente sulla faccia ortogonale ad x con asse momento parallelo all'asse y, mentre mxy = -Mxx = Myy è un momento di natura torcente.

La figura seguente riassume quanto detto sopra.


Fig22.jpg


Introducendo le seguenti matrici è possibile scrivere in forma più compatta quello che è stato scritto finora:

Matrici.PNG

La matrice "B" rappresentano la "Media integrale" della matrice D calcolata lungo lo spessore e moltiplicata per lo spessore stesso.

E' possibile relazionare i flussi degli sforzi e dei momenti, alle deformazioni membranali e flessionali nel modo seguente:

Legame.PNG

Ipotizzando la piastra in materiale omogeneo le matrici A,B e C assumeranno la forma:

Matrice materiale omogeneo.PNG

e permettono di scrivere in forma compatta la relazione tra Flusso di Sforzi e Momenti e K ed . La relazione quindi diventa:

Eq.2.PNG

in cui:

vettore risultante flusso degli Sforzi, che definisce lo stato "membranale" ;

vettore risultante flusso dei momenti, che definisce lo stato "flesso-torsionale".


Si osserva un disaccoppiamento tipico delle piastre omogenee tra le sollecitazioni e le deformazioni flessionali e membranali. Si nota che a parità di deformazione membranale raddoppiando lo spessore bisogna raddoppiare le forze membranali (legame lineare). Mentre a parità di deformazioni flessionali raddoppiando lo spessore bisogna ottuplicare i momenti (legame cubico).

Concetto di singolarità

Il concetto di singolarità è particolare nel caso delle piastre. Un carico di linea sulle piastre non comporta singolarità, in quanto al diminuire dell'elemento piastra considerato, le superfici su cui si generano le tensioni tangenziali non diminuiscono, quindi le tensioni rimangono finite. Viceversa le forze concentrate normali alla piastra inducono stati tensionali singolari (singolarità 1/r) dovuti all'aumento delle tensioni tangenziali nell'intorno del punto di applicazione del carico.

Le forze concentrate si possono definire singolari alle tensioni: infatti inducono campi di spostamento con sigolarità logaritmica (prop. a log(r)) nel caso delle piastre flesso-taglianti alla Mindlin, ma non inducono spostamenti singolari in piastre puramente flessionali all Kirchhoff, in quanto in queste ultime le deformazioni gamma_zr non sono derivate da tau_zr/G ma sono nulle per ipotesi cinematica, cioè la piastra è interessata da singolarità solo se modellata con le ipotesi alla Mindlin.

Note, curiosità, consigli pratici

Per comportamenti membranali l'elemento piastra è equivalente all'elemento isoparametrico 4 nodi in tensione piana. Per comportamenti flessionali l'elemento piastra alla Kirchhoff usa funzioni nodali per arricchire il campo degli spostamenti, in particolare si usano cubiche, funzioni dette C1, in quanto permettono la continuità, oltre che degli spostamenti, anche della tangente della deformata. Se presente il contributo tagliante, cioè nel caso di Mindlin, le cubiche non svolgono più il loro compito per cui si perde la continuità sulla tangente e rimane solo quella degli spostamenti (continuità C0). Gli elementi piastra per loro natura portano le rotazioni, al fine dell'implementazione occorre affiancare un campo di rotazioni non disaccoppiabili dagli spostamenti. Ogni software costruisce la matrice di rigidezza degli elementi piastra in modo diverso, poichè esistono correzioni e arricchimenti del codice particolari da una casa costruttrice ad un'altra. Da analisi effettuate si nota che raffinare la mesh per elementi piastra alla Kirchhoff caricati a torsione ha poco senso in quanto il contributo tagliante è sempre nullo per l'ipotesi cinematica. Proprio per l'ipotesi cinematica, gli elementi alla Kirchhoff simulano strutture sempre più rigide rispetto agli elementi alla Mindlin. Per caricamenti flessionali l'elemento 139 (alla Kirchhoff) porta risultati sempre sbagliati, considerabili di primissima approssimazione, senza contributo tagliante.

Per spessori sottili delle piastre si utilizza il modello flessionale (Kirchhoff);

Per spessori medi delle piastre si utilizza il modello flesso-tagliante (Mindlin);

Per spessori elevati delle piastre non va bene nessuno dei due modelli.

Bibliografia

  1. Teoria delle piastre sottili, V. Giavotto, 2007

consultabile nel materiale didattico del corso di Progettazione assistita 2013/2014 attraverso il seguente link: [[1]], prestando attenzione agli errori presenti nella dispensa che possono essere risolti con le seguenti indicazioni:[[2]]