Lezione 33

Da CdM_unimore.

Applicazioni teoria dell'elasticità

Differenze di risposta tra spina elastica e spina piena

Si analizza un caso semplice: due travi sovrapposte caricate in mezzeria. Questa analisi deriva da un problema reale, cioè la soluzione per il montaggio di un gancio in un loco-trattore su una piastra. Tale componente, per come era stato progettato, non riusciva ad ottenere l'omologazione in quanto non conforme alla normativa sulla sicurezza. Inoltre il componente presentava ulteriori vincoli, in particolare limitazioni sull'ingombro e limitazioni tecnologiche, data la difficoltà di lavorazione di piastre di elevato spessore. Per cercare di ridurre le tensioni si è pensato allora di inserire sopra quella pre-esistente un' altra piastra con un foro al centro per far passare il gancio. Nel nostro studio, l'interpretazione è più semplice ed intuitiva, ma i comportamenti e le conclusioni sono i medesimi.

Partiamo dalla Figura 1, in cui osserviamo la situazione iniziale(struttura indeformata).

Figura 1


Questo sistema può deformare secondo due modalità differenti(figura 2):

Figura 2

• Travi disgiunte: le travi sono appoggiate (soluzione A), separate l'una dall'altra, con un eventuale strato d'olio interposto in modo da non avere una tensione tagliante di interfaccia. Le due travi si comportano in maniera uguale a due travi affiancate(intendo affiancate lungo l'orizzontale), con carico in mezzeria. Pertanto, tralasciando i dettagli, dal punto di vista della resistenza, non c'è differenza tra le due travi sovrapposte e le due travi affiancate. Si ottengono anche accoppiando le due piastre con spine elastiche che consentono un certo scorrimento(es:spina in foro ad asola).

• travi congiunte: le travi sono collegate tramite, ad esempio, spine piene, bulloni calibrati o saldatura (soluzione B). A causa della conservazione delle sezioni, il sistema si comporta come una trave di altezza doppia(quindi come una trave unica e grazie al 2h che entra nel quadrato si ha un fattore 4), quindi il modulo di resistenza sarà il doppio rispetto al caso precedente. In particolare, a differenza del caso precedente in cui la trave superiore si poteva allungare liberamente, in questo caso la trave superiore lavora a sforzo normale in compressione, la trave inferiore lavora a sforzo normale in trazione, quindi si può già notare il concetto di farfalla, tipico dei diagrammi di mf.

Si ricorda che il modulo di resistenza per sezioni rettangolari è così definito:

Quindi, se le due travi del sistema vengono accoppiate mediante spina elastica si ottiene la prima configurazione (A), in quanto la spina elastica, essendo deformabile, consente un certo scorrimento; al contrario, utilizzando una spina piena, con comportamento nettamente più "rigido", si può ottenere la seconda configurazione (B). In definitiva, la configurazione B resiste il doppio della soluzione A (e quattro volte tanto rispetto alla trave unica), pagando però il prezzo di una maggiore difficoltà di bloccaggio e un maggiore costo.

Riprendendo il problema professionale (piastra con gancio), l'analisi svolta in teoria della trave ci permette di trarre conclusioni qualitative: nel caso specifico, l'idea che ne deriva è quella di mettere sopra alla piastra un'ulteriore piastra con un foro attraverso cui passa il gancio, prestando attenzione ad accoppiarla come la soluzione (B) e non come la soluzione (A), al fine di raddoppiarne la resistenza.


Approfondimento

Definizione di spina elastica

La spina elastica è un organo meccanico di unione e accoppiamento di due parti di un meccanismo tale che l’una possa ruotare rispetto all’altra intorno all'asse della spina elastica, ma può essere utilizzata anche come sostituzione alla copiglia. Essa è fondamentalmente un tubo con un taglio laterale che scorre lungo tutto il suo lato ed è prodotta in acciaio armonico temprato.

Il suo diametro deve essere superiore a quello del foro in cui deve essere inserita, perché altrimenti la spina elastica non riesce a fare forza sulle pareti del foro e ad automantenersi in posizione, infatti la fessura laterale serve per far sì che la spina elastica si stringa su se stessa e fare forza sulle pareti del foro.

L'inserimento della spina elastica avviene tramite un martello e se necessario anche tramite punzoni, i quali sono obbligatori in caso di sfilamento della spina elastica da un foro con uscita, mentre in caso di foro cieco bisogna utilizzare un estrattore caccia perni

Indentazione di un corpo rigido su un semipiano elastico

Consideriamo un semipiano elastico, cioè un oggetto piano, infinitamente profondo (caratterizzato da un modulo elastico e un coefficiente di Poisson ) e un elemento rigido che verrà premuto contro il piano (corpo indentatore), per mezzo di una forza Q (in Figura 3). La parte elastica del semipiano è quella sotto una certa retta, immaginata protrusa di una quantità infinita; è una condizione di deformazione piana. Ogni punto rappresenta una retta di materiale elastico che esce infinitamente.

Figura 3

Appena viene appoggiato l'indentatore sopra questo suolo elastico, la superficie dell'indentatore sfiora il semipiano elastico. In questa condizione il semipiano elastico ha in superficie spostamenti nulli. Premiamo ora con una forza Q l'oggetto rigido contro il semipiano elastico. La superficie elastica sotto l'indentatore si deforma e riceve un certo abbassamento (uniforme), cioè scende restando parallela a se stessa. Infatti, essendo l'indentatore rigido, quindi indeformabile, e con superficie piatta, esso non può deviare dalla forma piatta, per cui la superficie elastica del semipiano sotto l'indentatore può avere qualunque abbassamento, ma deve rimanere piatta, cioè deve avere un abbassamento uniforme. Tale abbassamento è causato dalla pressione di contatto agente.

Per arrivare alla risoluzione di tale problema, procediamo per gradi. Partiamo da un caso più semplice: un carico concentrato che agisce su un semipiano elastico. Essendoci un solo carico , prendiamo una sola coordinata , a partire dal punto sotto l'applicazione del carico.

FIGURA4

Allora:

dove la costante C è un problema storicizzato: è a meno di moti rigidi, ma nessuno è mai riuscito a dare una regola per calcolarla, quindi, nel seguito, la trascureremo. Per , tende ad infinito, nel senso che un coltello affilatissimo taglia qualunque cosa. La cosa molto molto strana è che questa soluzione, ineccepibile teoricamente per un semipiano di dimensione infinita, dà, anche per che tende a infinito, una freccia infinita, cosa disturbante.

Consideriamo ora due forze e , applicate rispettivamente ai punti di coordinate e .

FIGURA5

Vogliamo trovare l'abbassamento in un punto definito dalla coordinata .

Immaginiamo di aumentare il numero di forze. Al tendere del numero di forze ad infinito, la sommatoria diventa un'integrale. Avendo infinite coordinate , l'integrale sarà in . Possiamo perciò tornare all'esempio iniziale.

Il legame tra la pressione di contatto e l'abbassamento del materiale è espresso dalla seguente equazione integrale (un'equazione si definisce integrale se l'incognita del problema è una funzione che compare sotto il segno di integrazione):

in cui l'abbassamento del profilo del semipiano è e la forza infinitesima è , applicata alla posizione . Si noti che l'espressione costituisce la Funzione di Green per il problema di contatto: in generale, essa dice quanto si abbassa il punto a fronte di una forza unitaria applicata in . Al posto della forza unitaria, sotto integrazione, compaiono infinite forze infinitesime adiacenti, quindi la funzione di Green, nel caso specifico, descrive l'abbassamento del profilo in corrispondenza di un generico punto , a fronte della distribuzione di pressione tra -1 e 1, scorrendo in . Si è reso necessario utilizzare due variabili indipendenti diverse: la è quella interna, necessaria a controllare i punti di applicazione delle forze agenti, mentre la è quella esterna, in quanto identifica il punto in cui si vuole valutare l'abbassamento . L'integrale sopra ha come estremi di integrazione -1 e 1, in quanto, al di fuori di tale intervallo, la pressione è nulla, quindi il contributo deformativo di una pressione nulla è anch'esso nullo. Osservando la formula sopra da un punto di vista delle unità di misura, sembra scorretta; tuttavia, la formula, anche dimensionalmente, è giusta, in quanto la pressione è supposta applicata ad un'unità di materiale in direzione , cioè non va intesa come un carico su un'area, bensì come un carico su un'unità di lunghezza.

Se è valida la relazione scritta sopra, a maggior ragione deve valere anche la sua derivata; facciamo, quindi, la derivata in della relazione precedente, analizzando il caso particolare con termine noto nullo (poiché la derivata di un abbassamento uniforme è nulla). In pratica, a sinistra dell'uguaglianza, il termino noto rappresenterebbe una funzione generica, non nota a priori. Nel nostro caso però, rappresentando il termine noto il profilo dell'indentatore, esso vale zero in quanto la derivata di un profilo piatto vale zero.

Essendo il inizialmente imposto (problema agli spostamenti), si passa, invece, ad un problema alle forze. Si ottiene, quindi:

Vista la complessità nella risoluzione di una equazione integrale come questa, in cui l'incognita si trova all'interno dell'integrale, andiamo a trovare direttamente la soluzione generale dai formulari di equazioni risolte.

La soluzione tabulata per l'equazione:

è la seguente:

con il parametro da calibrare.

Visto che sappiamo essere, per il nostro problema, , consideriamo solo la parte della soluzione; il parametro viene, ora, tarato, uguagliando la risultante delle pressioni al valore del carico agente. In formula:

, ovvero: .

Trovato , otteniamo il valore della pressione di contatto sotto un indentatore rigido, largo 2, che preme con una forza Q contro un semipiano elastico. Il valore trovato per il parametro è quello corretto, perché è quello che viene solitamente impiegato all'interno dei problemi di contatto. Notiamo, però, una certa caratteristica particolare di questo caso in teoria dell'elasticità: l'espressione della Formula di Green, indicante lo spostamento associato al carico unitario concentrato, ha una singolarità; c'è un punto (o più di uno) in cui la funzione "degenera", tendendo ad infinito. La pressione va ad infinito per gli estremi . Una pressione di contatto infinita è qualcosa di difficile spiegazione fisica. Tuttavia, questo andamento è possibile, per la teoria dell'elasticità, in quanto essa parte dal principio che il materiale sia perfettamente elastico, e quindi non snervi mai. Sotto l'ipotesi che il materiale non snervi mai, esso può tollerare anche pressioni infinite. Il fatto che la teoria dell'elasticità ci restituisca dei casi in cui lo stato tensionale non è finito, purtroppo, è un problema per le analisi FEM, come vedremo negli esempi dei paragrafi successivi.

Quindi, l'indentazione di un indentatore rettangolare a spigoli vivi su un semipiano elastico prevede una soluzione analitica chiusa ed esatta in campo elastico, che vede una pressione di contatto con due picchi laterali, in cui la forza della singolarità è . Non è l'unica nei problemi di contatto, ma è la più comune. Per capire da dove deriva l'espressione nota della singolarità, effettuiamo un cambio di coordinate:

da cui ottengo che

Quindi, con il cambio di variabili:

Consideriamo l'intorno

tende a

tende a infinito. La matematica dice che va a infinito come . Questa è la singolarità, che risulta essere integrabile e facilmente calcolabile. Se è integrabile, vuol dire che la pressione di contatto, integrata, da come risultato un numero finito.

è proporzionale a , quindi è un numero. L'integrale della sommatoria esiste anche se la funzione tende ad infinito.

Casi di Singolarità Tensionali

Si è appena visto come la Teoria dell'elasticità ci restituisca casi in cui determinate zone di oggetti caricati sono caratterizzate da tensioni di entità infinita. Nel seguito, si considerano i casi più significativi di questa singolarità tensionale.

"Provino con due appoggi, carico concentrato che presenta una cricca"

Provino cricca.png

Rappresenta un provino per flessioni a 3 punti, con inoltre la presenza di un taglio (crack) fino a circa metà provino. Tale struttura potrebbe essere modellata agli elementi finiti. In questa configurazione, esistono 4 punti in cui la soluzione esatta del problema restituisce tensioni infinite, in particolare sotto il carico concentrato, sui due appoggi e sull'apice della cricca. Analizziamo quest'ultimo punto.

Pagina sinclair singolarità 2.jpg

Si prenda una lastra, caricata da due forze remote, che presenta una cricca trasversale, che parte dal fianco e con apice a distanza a dal fianco. Ipotizzo che tale materiale sia elastico e non plastico. Qualora la cricca non termini con un raccordo è più corretto parlare di taglio: infatti, in generale, una cricca ha una estremità dotata di un raggio di raccordo che è finito, a differenza di un taglio che ha raggio di raccordo nullo, e quindi tensioni infinite nell'apice.

Lo stato tensionale nell'intorno dell'apice della cricca è descritta dalla teoria sulla frattura di Griffith come:

con K = costante da determinare, con = distanza del punto dall'apice della cricca, a = estensione della cricca, e ovvero la sigma di trazione definita come carico di tiro su sezione resistente ( = spessore e b = larghezza di piastra). Si nota quindi che, al tendere a zero del raggio dello spigolo, le tensioni vanno sempre ad infinito (e questo è possibile per l'ipotesi di materiale perfettamente elastico).

Supponiamo che sia vero che il materiale ceda dove e quando la tensione supera un certo valore critico. A titolo esemplificativo si consideri un foglio di carta con una cricca trasversale e gli si applichi una tensione, quantunque piccola. Stranamente, non succede nulla. Perché stranamente? Perché sto applicando una non nulla, finita, è finito, "a" è finito; nell'intorno del punto all'apice della cricca, è nullo (è più corretto allora parlare di taglio invece che di cricca). Pertanto dovrei avere una tensione infinita, che è sicuramente maggiore di qualunque carico critico del foglio di carta. Mi dovrei aspettare una rottura del foglio ma ciò non si verifica. Se adesso procedo col modellare agli elementi finiti questo caso ottengo dei risultati errati: otterrei dei valori tensionali all'apice sempre finiti, e quindi sbagliati, in quanto il risultato esatto è infinito. In particolare sorge il seguente problema: strutture come quelle viste sono impossibili da dimensionare, se voglio mantenere la tensione massima inferiore ad una soglia critica, in quanto la tensione massima è sempre infinita, anche se il caricamento è piccolo. Se procedessi con un infittimento della mesh del modello, anche solo nell'intorno dell'apice del taglio, mi accorgerei che i valori tensionali non giungono a convergenza ma anzi la tensione cresce sempre di più all'infittirsi della mesh. Questo comportamento agli elementi finiti deve indurre il modellatore a capire che si trova di fronte ad un punto dove la tensione cresce a valori infiniti.

Tornando all'esempio iniziale del provino per flessioni a 3 punti con un crack, i punti problematici, dal nostro punto di vista, sono, come già anticipato, il punto all'apice della cricca, i punti dove sono applicate le reazioni vincolari e il punto sotto l'applicazione del carico concentrato. In particolare, un carico concentrato è un'idealizzazione molto comoda. Nella realtà non esiste, ma l'applicazione di un carico concentrato può essere assimilabile a premere con una lama infinitamente tagliente contro un semipiano deformabile; l'area di appoggio è tendente a zero e perciò la pressione di contatto tende a infinito. Ciò però non va a screditare la teoria della Scienza delle Costruzioni, in cui gran parte delle strutture sono caricate da forze concentrate. La forza è concentrata, se applicata alla trave intesa come suo asse, ma se si considera la realtà, quindi conci di trave, il carico concentrato è equilibrato da tensioni taglianti che nascono grazie all'interazione con le aree adiacenti alla sezione considerata. Anche considerando l'esempio di rappresentazione fisica di una forza concentrata (lama tagliente), nel mondo fisico, la lama avrà un raggio di punta non infinitesimo, per cui il carico verrà "spalmato" su un'area comunque finita. Pertanto, la forza concentrata (idea teorica) genera su un oggetto elastico generico una pressione infinita, se è applicata su un'area nulla.

Qui si introduce una problematica del modello FEM. Nelle analisi FEM, infatti, è impossibile ottenere il modello di una forza concentrata, in quanto essa verrà implicitamente spalmata su un area paragonabile come ampiezza alle due facce degli elementi coinvolti. Ciò accade in quanto, se si considera il punto di applicazione della forza concentrata, lì ci sarà sempre un nodo, poi ci saranno degli elementi che, essendo finiti, avranno una dimensione finita. Quindi, la forza è concentrata, ma implicitamente distribuita su un'area comparabile all'area di due facce degli elementi. Una forza concentrata in una analisi FEM è equivalente alla distribuzione di pressione finita, visibile in figura.


Perciò, una forza concentrata al FEM non provocherà sollecitazioni infinite ma darà tensioni finite, tensioni che saranno quindi sbagliate. Ovviamente,più gli elementi sono piccoli (più la mesh è fitta), più la forza sarà rappresentata da una distribuzione di pressione con un picco massimo più elevato. In particolare potrei pensare, se si dimezza la taglia dell'elemento, la pressione massima raddoppia. Se si dimezza ancora, la pressione massima raddoppia ancora. Se si procede, infittendo la mesh illimitatamente, si arriva ad avere tensioni sotto il punto di applicazione del carico alte a piacere. Possiamo dedurre che esisterà sempre una mesh abbastanza fitta che porterà a rottura il componente. Pertanto, in un modello FEM, abbiamo sempre elementi di dimensione finita, piccola o grande, ma finita, per cui risulta impossibile avere una vera forza concentrata; d'altra parte, i valori tensionali associati ad una forza concentrata saranno sempre finiti e non avranno nessun significato fisico, in quanto, cambiando la mesh, i valori cambiano, senza convergere, poiché la soluzione esatta è infinito. Più infittiamo la mesh, più ci avviciniamo al valore esatto in teoria dell'elasticità, senza, tuttavia, arrivare mai a convergenza. Gli elementi finiti, quindi, restituiscono una forma approssimata delle singolarità, con tensioni che a primo impatto potrebbero anche essere al di sotto della tensione limite del materiale per un problema di mesh troppo grossolana. Sta all'abilità del progettista riconoscere tali zone di singolarità e modellarle correttamente.

Ulteriore immagine a chiarimento delle Singolarità tensionali è la seguente:

Singolarità Tensionali.png

Spigoli rientranti non raccordati

Punti di singolarità per le tensioni sono tutti gli spigoli vivi rientranti. Se dovessimo modellare agli elementi finiti un pezzo contenente uno spigolo rientrante non raccordato, il Marc ci restituirebbe erroneamente un valore tensionale finito nell'intorno di tale intaglio, in quanto il risultato esatto sarebbe una tensione infinita. Inserendo un raggio di raccordo diverso da zero, il valore di tensione nello spigolo tornerebbe ad essere finito.


Intaglio.png

Interfaccia Multimateriale

Tutte le giunzioni multimateriali sono a rischio di singolarità di forza.


  • Si consideri come esempio la tacchettatura di uno pneumatico (di natura elastica) a contatto con l'asfalto (supposto infinitamente rigido) caratterizzato dall'esistenza di un buco che rovini l'omogeneità di superficie. Tale buco può esser visto come una cuspide a diretto contatto con una superficie infinitamente elastica. Questo problema è del tutto assimilabile al problema di un indentatore rigido che entra dentro un materiale elastico.

Nell'intorno di tale punto, si osserva come l'asfalto "entri" a spigolo vivo all'interno del tacchetto, provocando su di essa la nascita di tensioni d'intensità infinita.


Buco asfalto.png


  • Si consideri un secondo caso di interfaccia multimateriale, raffigurante lo stesso tacchetto pneumatico dell'esempio precedente, caricato da una pressione distribuita "p" tale da far premere il tacchettino contro l'asfalto (di superficie omogenea).

Si supponga di considerare valida l' ipotesi di aderenza tra gomma e asfalto. Qualora non si debba considerare l'attrito tra le due superfici, il caso non può esser visto come singolare: la gomma si schiaccerà e per l'effetto Poisson la sua sezione s'allargherà fino a quando non si creerà equilibrio tra la pressione distribuita applicata superiormente e quella di contatto applicata inferiormente. In caso d'attrito, invece, tale principio vale soltanto sulla parte alta della gomma; in prossimità della zona di contatto, l'aderenza fa si che tale gomma non sia libera di scorrere con l'asfalto e quindi di espandersi. Si creeranno delle forze che tenderanno ad impedendo alla gomma di deformarsi come nel caso di "non aderenza". Tale forze di taglio, , sono concentrate e di tipo singolare.


Attrito.png


In generale, tutte le interfacce multimateriale hanno la seguente problematica: un materiale vorrebbe stringersi in un modo e un altro materiale vorrebbe andare in strizione in un altro modo a causa delle differenti proprietà elastiche. Si generano tensioni singolari all'interfaccia, per far adattare la strizione dell'uno alla strizione dell'altro. Nei punti indicati con la freccia, nel caso di aderenza, le sono infinite.


  • Per giunti multimateriali, inoltre, si intendono anche tutti i giunti incollati. Si considerino, ad esempio, due barre d'acciaio infinitamente rigide, caricate a trazione ed incollate tra loro tramite colla epossidica. Se si dovesse osservare da vicino lo strato di colla (considerata di natura elastica), quando si applica lo sforzo normale, essa andrebbe in deformazione molto di più rispetto all'acciaio, e questo a causa del suo basso modulo di Young (facendo arrivare la colla alla strizione). Affinchè non ci sia distacco dello strato di colla dal materiale rigido, è necessario che nascano su tali superfici di contatto delle , idealmente tendenti a infinito in prossimità degli spigoli dello strato elastico in esame.


Colla.png


Quindi, risulta impossibile calcolare il valore massimo di tensione in una giunzione multimateriale, perché, secondo l'analisi F.E.M., sullo spigolo fra colla e acciaio ci sarebbe un valore molto elevato (superiore al valore di stato tensionale massimo ammissibile dalla colla) e la giunzione non potrebbe mantenere.

Albero con cava per linguetta

La cava per linguetta presenta almeno due spigoli rientranti nella sezione (in realtà, se considerata tridimensionale, ha tutto un perimetro di spigoli rientranti), che, se non raccordati, danno luogo a tensioni infinite. Se si vuole fare un'analisi a fatica di un modello con cava per linguetta e si vuole dare un approccio alle tensioni attraverso un modello FEM, si è costretti a modellare il piccolo raccordo che c'è, e che potrebbe anche essere solo un raggio dovuto all'usura dell'utensile.


Condizioni per distinguere dove c'è o meno una singolarità

Nella realtà la complessità aumenta rispetto agli esempi illustrati nei paragrafi precedenti, in quanto esistono molte condizioni di potenziale singolarità, ossia situazioni che a volte sono singolari e a volte no. Consideriamo, per chiarire la problematica, il seguente esempio.

Prendiamo in considerazione due corpi: un piano e un corpo a spigolo raccordato di acciaio incollati insieme con un po' di colla che "sbava", causando un eccesso di materiale. Il piano e il corpo si suppongono rigidi rispetto alla colla, considerata deformabile, in quanto la colla ha un modulo di Young di un polimero (1000-2000 MPa), mentre l'acciaio ha un modulo di Young maggiore di almeno due ordini di grandezza (210000 MPa).

Incollaggio


Non tutti i corpi multimateriale hanno singolarità; in questo caso, essa dipende dall'angolo di incollaggio ("vertex angle") a seconda di cui posso avere o meno singolarità. Preso un punto a distanza dalla fine della colla, l'espressione della tensione (es. Von Mises) può essere scritta come:


Dove:

  • è la distanza di un generico punto al quale si vuole calcolare la tensione,
  • rappresenta un coefficiente, funzione del carico remoto, per esempio della forza con cui provo ad effettuare il distacco,
  • è l'esponente di singolarità.

Se è uguale o minore di zero, non ho singolarità; al contrario, ho singolarità se esso è maggiore di zero. L'esponente non è costante, ma dipende dall'angolo : indicativamente, è minore di 0 finchè non arriva circa ai 60°.
Se la colla forma una forma simile ad una goccia, l'angolo è circa di 90°: siamo, pertanto, nel caso di singolarità.
Se, invece, "spalmiamo" la colla col dito rendendo l'angolo molto più piccolo, allora il caso diventa non singolare. Per problemi con attrito tra due corpi, a seconda del coefficiente di attrito cambierà il valore di al quale inizia la singolarità.

Agli elementi finiti, per controllare se un punto sia di singolarità o meno, il modo corretto consiste nell'effettuare varie analisi, infittendo di volta in volta la mesh nell'intorno del punto. (Non importa raffinare ovunque, ma è necessario raffinare localmente, nell'intorno del punto). Se, raffinando la mesh, si ottengono valori di tensione che aumentano ad ogni analisi senza mai convergere ad un valore specifico (cosa che posso verificare trasferendo i risultati su un foglio Excel e plottandoli in un grafico), allora quello è un punto di singolarità: in quel caso, le tensioni vanno a "esplodere" (con l'infittirsi della mesh) con lo stesso esponente della singolarità della soluzione elastica descritta dalla teoria. Se la singolarità è nella seguente forma:

allora le tensioni FEM sono funzione della dimensione dell'elemento nel punto sospetto:

dove è un coefficiente diverso da e legato al carico.

Cuscinetto modellato agli elementi finiti

Si consideri il seguente problema: si vuole modellare un cuscinetto a sfera, senza modellare tutte le sferette. Si modella anzitutto un albero, agli elementi finiti. Poi si modella, sempre agli elementi finiti, un cuscinetto, tramite un anello esterno, un anello interno ed elementi lineari (puntoni rigidi, assimilabili a travi) che schematizzano le sfere. Se guardiamo in dettaglio com'è la mesh in prossimità di uno di questi puntoni, vediamo che esso è collegato ad un singolo nodo. La forza che carica le sfere ha la direzione dei puntoni. Quindi, passano delle forze che si scaricano come forze concentrate sugli elementi delle piste dei cuscinetti. Ci si chiede quanto valga e come vari la rigidezza della mesh nell'unione di puntone e anello.

Il cuscinetto, modellato in questo modo, avrebbe una cedevolezza teoricamente nulla. Tuttavia, la cedevolezza non risulta realmente nulla, in quanto la forza "impressa sul puntone" si sparge all'incirca tra i due elementi perpendicolari laterali, appartenenti all'anello: perciò, il puntone non tocca esattamente su un punto, bensì su un area. Se il puntone, invece che toccare su un punto, tocca su un'area, quantunque piccola, lo spostamento sotto il carico finito passa da infinito a finito. In realtà, però, la cedevolezza di questo modello è funzione della dimensione della mesh scelta, in quanto, rendendo più fitta la mesh, il comportamento della struttura risulta meno rigido.

Questo tipo di approccio non sarebbe teoricamente corretto: infatti, qualunque approccio in cui, cambiando la mesh, cambiano i risultati, non convergendo, è sbagliato. L'approccio reale prevede che l'unico modo per avere risultati veritieri sia quello di "tarare la dimensione della mesh" confrontando i dati trovati con quelli sperimentali.