Lezione 32

Da CdM_unimore.

Spina Elastica

Spina.png

Si riprende il problema visto nella lezione 30.

Il problema consiste in una spina elastica (puramente flessibile) inserita con interferenza in un foro (considerato rigido). Si vogliono valutare le zone di contatto, il momento flettente e le forze agenti sulla spina.

Le tensioni agenti sulla spina si considerano puramente flessionali. Ipotizzarle flessotaglianti, tenendo quindi conto anche della componente di taglio, sarebbe più complesso anche se più preciso.


L'interferenza diametrale vale :

dove è il raggio esterno della spina non montata ed il raggio del foro.


Il contatto fra spina elastica e foro rigido risulta essere di tipo recessivo. I due componenti sono inizialmente accoppiati in modo da sfiorarsi, poi, applicando l'interferenza iniziale, la zona di contatto diminuisce considerevolmente stabilizzandosi ad un valore che rimane costante all'aumentare dell'interferenza. Nel nostro caso, il contatto avviene in una porzione di circa 120° (1/3 di circonferenza) ed è individuabile nella parte inferiore della spina e localizzato nei due spigoli superiori dove è stata tagliata.

I carichi agenti sulla spina sono:

- p pressione di contatto, considerata costante, agente nella zona di contatto inferiore 
- due forze concentrate, applicate agli estremi superiori (ove vi è il contatto localizzato)
- due forze concentrate agli estremi della zona caricata a pressione uniforme p.

Ricordiamo che il problema è simmetrico, per cui il taglio in mezzeria è nullo.

Il problema si risolve modellizzandolo a parametri concentrati con Castigliano, sfruttando il fatto che lo spessore dell'anello elastico è molto piccolo rispetto al raggio (considero la spina ad asse curvo, in modo da poter utilizzare equazioni per travi rettilinee), semplificando notevolmente i calcoli. Tutte le forze hanno direzione ortogonale alla struttura.
Le incognite sono 4: , , p ed (ampiezza angolare della singola zona di distacco). Sono dunque necessarie 4 equazioni.

Il momento flettente si divide in 2 tratti:

Tratto 1 per

   con   


Tratto 2 per (uso una seconda variabile angolare , detta di integrazione interna, che scorre fino a )


Con Castigliano ricavo le energie interne  e  nei due tratti,
le sommo per trovare l'energia totale , infine derivo rispetto per ricavare l'abbassamento



  

Ottengo così la 1a equazione del sistema che risulta essere un'equazione di congruenza


Si può ricavare che è costante, infatti la variazione di curvatura è uguale a


avremo quindi





 
commettendo un piccolo errore ipotizzo ora che i due raggi sono uguali, ricavo quindi:




Svolgendo i calcoli per ottengo:



Dato che deve essere costante, allora deve essere indipendente da
I termini all'interno delle parentesi tonde al secondo membro, quindi, dovranno essere nulli. Ottengo così altre due equazioni di congruenza utili per la risoluzione del problema (nel linguaggio Maxima conviene utilizzare il comando TRIGEXPAND con un altro EXPAND per riuscire a ricavare tutti i coefficienti):

   



(Nota: la seconda equazione semplificata in questo modo
esprime l'equilibrio verticale della struttura.)


Avendo inoltre annullato i termini all'interno delle parentesi l'espressione dell' si riduce a:



che sostituita all'interno dell'espressione per la variazione della curvatura della trave curva mi fornirà la quarta equazione:

   

Da quest'ultima equazione si trova facilmente il valore della pressione p che, sostituito nella seconda e nella terza equazione, mi permette di ricavare i valori di e di . Inserendoli, infine, nell'equazione di Castigliano, si ottiene un equazione nella sola incognita .

Lo scopo di tutti questi calcoli è il seguente:

Una volta trovate le incognite si può scrivere l'espressione del momento flettente cosi da poter valutare dove e quanto si snerva la spina (o plasticizza) e determinare una stima della forza necessaria per inserire la spina nel foro cioè per creare il forzamento.

Link di forze/momenti risultanti distribuiti RBE3

Partiamo sempre dal sistema
costruiamo la matrice con la riga j-esima modificata




sappiamo che
dove è la deviazione della combinazione lineare

moltiplichiamo ora il sistema per la trasposta di L ()



dato che

   

e

    

con il vettore delle forze nodali pre introduzione del servolink


fatto questo, ottengo:


se


dove


è il valore della forza applicata al grado di libertà i-esimo prima dell'applicazione del servolink

è il valore della forza applicata al grado di libertà j-esimo, grado di libertà che è stato reso dipendente

è una sommatoria implicita

scrivendo la relazione precedente con la sommatoria in forma esplicita, otteniamo:



mentre nel caso in cui allora vale

La forza si spalma sugli altri nodi con i coefficienti della relazione cinematica
quindi il servolink che abbiamo utilizzato per le relazioni cinematiche può essere usato per spalmare una forza su diversi nodi(spostamenti incogniti)


Es. Si vuole spalmare un carico agente sul nodo 5

Figura 1
Imposto una relazione cinematica per cui si muoverà come la media ponderata degli altri 4 spostamenti:

scrivo la matrice L e ne calcolo la trasposta

se il vettore delle forze nodali previncolamento (pre applicazione del servolink) è:


allora quello dopo l'applicazione del servolink (con i 4 coefficienti introdotti prima nella relazione cinematica) sarà:



Versione Generalizzata per spalmare un carico su una quantità generica di nodi

Definisco anzitutto il nodo C, che è il nodo controllo o controllato (l'equivalente del nodo 5 dell'esempio precedente)

il nodo C avrà cordinate

Considero una nuvola di nodi che hanno coordinate

Voglio uno strumento con il quale una volta applicato un carico al nodo C questo venga ripartito sulla nuvola di nodi
Devo definire un punto intermedio, questo è il baricentro della nuvola di nodi G. Definisco anche il valore , questo è il peso associato al nodo i-esimo della nuvola, questo è un peso relativo (definisce quanto carico prende l'i-esimo nodo). Le cordinate del baricentro sono
con

                 


Dato che il nodo che porta il carico è dipendente, allora lo spostamento del nodo C dipenderà da quello dei nodi della nuvola.

Lo spostamento di C viene reso dipendente dallo spostamento del nodo G con un vincolo di moto di corpo rigido. Definisco:

u_C: spostamento X di C
v_C: spostamento Y di C
w_C: spostamento Z di C
θ_C: rotazione attorno ad X di C
φ_C: rotazione attorno ad Y di C
ψ_C: rotazione attorno a Z di C

Analogamente:

u_G: spostamento X di G
v_G: spostamento Y di G
w_G: spostamento Z di G
θ_G: rotazione attorno ad X di G
φ_G: rotazione attorno ad Y di G
ψ_G: rotazione attorno a Z di G




la matrice 6x6 appena creata la chiameremo perchè definisce il legame degli spostamenti fra C e G.
Vediamo che questa è una matrice che può essere suddivisa in una matrice a blocchi, le prime tre colonne sono relative alla traslazione di G, le altre tre alla rotazione di G, mentre per le righe notiamo che le prime tre si riferiscono alla traslazione di C e le seconde tre alla rotazione di C. Le due matrici diagonali 3x3 unitarie indicano che alla traslazione lungo x, y, z o alla rotazione attorno ad x, y, z di G corrispondono eguali traslazioni e rotazioni di C; la matrice 3x3 sottodiagonale nulla indica,invece, che non c'è alcun legame tra le traslazioni di G e le rotazioni di C; riguardo alla matrice 3x3 sopradiagonale indica il legame tra le rotazioni di G e le traslazioni di C:


Immagine punti G C.png


siano:




se allora la rotazione di G non dà contributo di traslazione in C









se invece sono distinti allora potrebbe darlo


Immagine punti G C con momento.png Assi yz con momento.png


Quindi voglio vedere ora l'influenza dello spostamento lungo z e y () di C in funzione della rotazione di G attorno ad x ()

l'influenza lungo z sarà:


l'influenza sullo spostamento lungo y sarà:


Lungo x invece non darà traslazione visto che la rotazione era attorno ad x stesso.

Ricordiamo che gli spostamenti qui calcolati sono infinitesimi.

Procedendo ugualmente con le altre rotazioni andiamo a trovare la matrice completa che, come possiamo vedere nel blocco 3x3 in alto a destra, è antisimmetrica. In definitiva avrò:


da cui si può ricavare il legame sulle forze:


questo tipo di costruzione è chiamata vincolo (link) RBE2 (rigid body element), questo tipo di vincolo è costituito da un nodo indipendente ed uno o più nodi dipendenti che si devono muovere con legge di moto di corpo rigido rispetto al nodo controllo.

Ora devo definire il moto di G in funzione del moto della nuvola.


Indicando con le lettere maiuscole le forze ed i momenti corrispondenti agli spostamenti ed alle rotazioni avremo:


                   


quindi lo spostamento del baricentro lungo una direzione è uguale alla media ponderata degli spostamenti dei nodi della nuvola in quella direzione, così il baricentro rimane comunque il baricentro della nuvola dopo essersi spostata

                   


potrei fare la stessa cosa per i momenti ma visto che molti degli elementi che usiamo non portano le rotazioni allora NON faccio così

ma trasformo i momenti al baricentro in forze ai nodi, queste forze saranno

Distribuzione momenti RBE3.jpg

Se ad esempio voglio il momento attorno all'asse Y, considero una forza con:

  • Direzione perpendicolare alla congiungente proiettata sul piano di normale y
  • Verso coerente con quello della rotazione
  • Modulo proporzionale al peso e alla distanza della retta d'azione della forza considerata da

il coefficiente di proporzionalità si trova calcolando il momento risultante delle forze distribuite ed uguagliandolo a quello da distribuire fra i nodi della nuvola:

      

Bibliografia

  • Appunti per il corso di Progettazione Assistita, E. Bertocchi, 2014. [1]