Buckling su msc.marc

Da CdM_unimore.

Rapporto tra analisi FEM e problemi di instabilità

Apriamo il file al link https://cdm.ing.unimo.it/files/index.php?dir=progettazione_assistita/corso_2013_2014/2014_06_03, denominato "senzapiastre.mfd".


Imm 1.png


Analizziamo un modello a travi costruito per studiare proprietà delle strutture a rischio instabilità. Il modello è un prisma a base rettangolare, i cui lati sono a sezione tubolare in alluminio 6060 t6, sforzo normale a snervamento 165MPa. Le misure di riferimento sono:

Base: 750mmX600mm
Altezza: struttura di 700mm
Sezioni: raggio medio 6mm (RADIUS in Marc) e spessore 2mm (WALL THICKNESS in Marc) 

Questi tubolari sono considerati saldati ad ogni giunto. In realtà i giunti non sono rappresentati fisicamente, ma sono semplicemente costruiti per collasso dei nodi delle varie travi. Se osserviamo ad esempio il vertice della piramide rimuovendo la visualizzazione degli elementi in 3D, possiamo vedere come la costruzione sia formata da quattro elementi trave che finiscono sullo stesso nodo.


Imm 2.png


Imm 3.png


Le rotazioni si trasmettono con continuità tra un elemento trave e l'altro, ossia non vi è alcuna deformabilità associata al giunto. Inoltre la geometria dei giunti essendo complessa non viene considerata, trascurando quindi la deformabilità del giunto, che nel nostro caso di modellazione (in cui il giunto è molto piccolo rispetto alle travi) è una approssimazione accettata.

Riguardo i tipi di vincoli e carichi agenti sul modello, questa struttura è appoggiata in direzione Z sui quattro vertici del quadrilatero di base. In questo modo abbiamo creato un appoggio su un piano (in realtà iperstatico perché basterebbero tre appoggi su un piano). Inoltre si è creato un vincolamento isostaticizzante con due carrelli in direzione X (in due dei quattro nodi di base), e un terzo carrello in direzione Y (in uno di quei due nodi vincolati) che conclude il posizionamento nel piano. Il caricamento della struttura pensato è un caricamento compressivo in Z applicato al vertice in alto della piramide. In questo modo mando in compressione i 4 spigoli della piramide ed in trazione le 4 catene alla base. Viceversa se il caricamento fosse verso l'alto le travi laterali andrebbero in trazione e quelle alla base in compressione. Questo tipo di caricamento è un caricamento investigativo, ovvero, imposto in direzione -Z di 1000N, per definire la condizione di caricamento P1. Il caricamento P0 sarà la condizione in cui la struttura è scarica.

Avremmo potuto sfruttare la simmetria ad 1/4. In realtà il vincolo di simmetria sarebbe stato applicabile per fare un calcolo di risposta elastica statica, ma sarebbe deleterio fare un'analisi di instabilità includendo le simmetrie (per lo stesso motivo per cui è pericoloso includere le simmetrie nella modale). Infatti imponendo il vincolo di simmetria si perderebbero tutti i modi instabili antisimmetrici della struttura (che non rispettano questo vincolo).

Programma per il Calcolo ad Instabilità

Andiamo ora a eseguire le fasi di impostazione e analisi del modello descritto in precedenza.

Come impostare il calcolo ad instabilità

Per impostare un calcolo ad instabilità è necessario impostare un loadcase specifico, denominato di tipo Buckle, che va appunto a sottolineare il caso di instabilità che andiamo a studiare con il Marc. Il nuovo loadcase lo andiamo a indicare quindi in questo modo:

 loadcases->new-> buckle, name:instabilità 

Per quanto riguarda le proprietà, sono sostanzialmente proprietà numeriche. Questo loadcase consta nell'estrazione di coppie di autovalori e autovettori. Di default si usa il power sweep come metodo e si lasciano i parametri di default.

Terminata la creazione del nuovo loadcase si definisce un nuovo Job:

Jobs->new->structural->instabilità

Nelle proprietà del Job dobbiamo definire una condizione di incremento 0 caricata. In particolare occorre definire un primo incremento di analisi statica in cui si inseriscono tutti i vincoli che costituiscono la condizione P1 (ovvero la condizione caricata). Praticamente utilizziamo l'incremento 0 dell'analisi che si usa nei casi lineari per definire la condizione caricata della struttura (quella di riferimento, da cui poi tirar fuori la matrice tangente e verificare, comparando con la condizione scarica P0, qual'è l'evoluzione instabile della struttura). Dunque per quanto riguarda le proprietà si inseriscono le boundary condition, con tutti i vincoli e i caricamenti della struttura nel pannello initial load e successivamente si carica il loadcase di instabilità.

Per quanto riguarda invece l'output che il job ci restituirà nei risultati dell'analisi, chiediamo momenti flettenti e sforzo normale lungo la trave. Quindi spuntiamo:

  • beam orientation vector
  • beam axial force (sforzo normale)
  • beam bending moment (local x e local y),
  • beam shear force (local x e y),
  • beam torsional moment


ResultsJob.JPG


Se una struttura ha N gradi di libertà, allora ha N coppie di autovalori e autovettori, e tipicamente non si analizzano tutte. Marc restituisce solitamente i primi due modi di instabilità. Volendo possiamo aggiungere il numero di modi desiderati (nel nostro caso chiediamo i primi 40) modificando i jobs parameters :

  • buckle modes: 40
  • POS buckle: 40

Infine lanciamo il job premendo su Run.

Analisi dei risultati

Il primo risultato d'interesse è lo stato della struttura sotto il carico di test di 1000N. Guardando la struttura nella forma deformata (accopiata all'originale) con un fattore di scalatura opportuno (ad esempio 1000) si nota che uno dei bracci diventa leggermente storto. Questo è dovuto all'introduzione di una piccola distorsione della struttura. Praticamente su quel braccio abbiamo un nodo spostato di 1 mm dal rettilineo (è una lieve perturbazione necessaria per il calcolo non-lineare). Finchè abbiamo una perturbazione piccola il carico critico non varia con l'entità della perturbazione. Analizzando lo sforzo normale sulle travi si nota che a fronte di 1000N applicati in testa, le 4 colonne raccolgono ciascuna 320.2N di sforzo normale (le travi lavorano essenzialmente a sforzo normale essendo il momento flettente molto piccolo). Per arrivare ad uno sforzo normale sui bracci, tale da provocare uno snervamento degli stessi, bisognerebbe applicare in testa una forza di oltre 38800N.

  • il primo modo di generazione instabile, il carico critico si instaura a 8.463 volte il caricamento a 1000N. Nei modi di instabilità le deformate di ciascuna colonna sono dipendenti dalle deformate delle altre, e anche dalle travi costituenti la base. Inoltre non rispettando le simmetrie, con modellazione simmetrica non sarebbe stato possibile osservare questo modo.


Modo1.JPG


  • Il secondo modo di instabilità ha carico critico 8.848 (se la base fosse stata quadrata i primi due modi avrebbero restituito valori identici)


Modo2.JPG


  • Il terzo modo è antisimmetrico, in questo caso il cedimento della struttura è di tipo torsionale, ho quindi una rotazione nel punto di applicazione del carico, ovvero la punta della piramide.


Modo3.JPG


  • Il quarto modo è il primo modo simmetrico, circa 14 volte il carico investigativo. Se avessimo imposto il vincolo di simmetria questo sarebbe stato il primo modo critico che avremmo visto.


Modo4.JPG


Alcuni modi hanno fattore negativo, e ad andare in instabilità sono le travi costituenti la base. Quando il fattore è negativo vuol dire che il carico sarà diretto verso l'alto (perché moltiplichiamo il il carico di 1000N verso il basso per un fattore negativo). Se si è sicuri della direzione del carico (verso il basso) questi modi non sono di alcun interesse.

La condizione di sicurezza, applicando il carico di lavoro, la si ha quando il fattore di instabilità è maggiore di 1 di una certa percentuale. Questo vuol dire che il carico applicato va moltiplicato per un fattore maggiore di 1 affinché porti ad instabilità.

Instabilità delle strutture sotto carico crescente

Andiamo ora ad analizzare lo stesso modello sottoposto ad un carico che cresce all'aumentare del tempo. In condizioni di instabilità, ad esempio considerando uno spaghetto sottoposto a compressione, si arriva ad una condizione in cui lo spaghetto deve decidere se flettere a destra o a sinistra. C'è equiprobabilità delle due condizioni e nell'algoritmo Newton-Raphson si trova una matrice di rigidezza tangente che dà penalizzazione nulla nel muoversi da una parte e penalizzazione nulla nel muoversi dall'altra ed il sistema si blocca con un errore di tipo 2004. Quindi è necessario inserire una perturbazione: in questo modo il sistema sa come evolvere in quanto viene definita una via preferenziale rispetto all'altra. Si considera dunque una struttura lievemente perturbata spostando un nodo di un braccio di 1mm in direzione Y. Per piccole perturbazioni il carico critico non cambia sensibilmente, anzi rimangono sostanzialmente identici. Va sottolineato inoltre che le perturbazioni, nella realtà sono sempre presenti, quello che importa è sapere che i carichi critici non variano a fronte di piccole differenze dalla geometria nominale.

Procediamo con il calcolo, facendo crescere il carico compressivo al di sopra della condizione di instabilità. Al crescere del carico il comportamento all'instabilità della struttura ha un andamento a sua volta instabile, soprattutto a ridosso e oltre il carico critico. Non è possibile lavorare con il controllo del carico, poiché oltre il carico critico la struttura non è in grado di rispondere con un carico maggiore, in quanto si arriva ad una condizione instabile. In tutti i casi in cui siamo a rischio instabilità si lavora con un controllo di spostamento, più stabile. Con il controllo di spostamento si possono vedere anche carichi che calano all'aumentare dello spostamento. Dall'analisi statica si determina lo spostamento sotto il carico di 1000N, che risulta essere di 0.077mm. Quindi si impone lo spostamento e inoltre è noto che il carico sulla struttura è di 1000N.

Aprendo il foglio di calcolo al link https://cdm.ing.unimo.it/files/index.php?dir=progettazione_assistita/corso_2013_2014/2014_06_03, denominato "appunti_lezione_2014_06_03.ods", si nota che il carico critico di instabilità è di 8463N. Questo risulta essere molto minore del limite di snervamento. La struttura è dunque mal dimensionata, in quanto ha delle sezioni che cedono molto prima per instabilità che non per snervamento (una soluzione potrebbe essere quella di aumentare il momento di inerzia o diminuire lo spessore di parete e aumentare il diametro). La struttura ideale dovrebbe avere i due carichi, di cedimento per snervamento e cedimento per instabilità, uguali in modo che nessuno dei due limiti la portata della struttura rispetto all'altro.

Si può calcolare l'abbassamento da dare alla struttura al fine di avere 8463N (in ipotesi di linearità) come carico applicato dalla reazione vincolare. Poiché nel caso di spostamento imposto la forza è una reazione vincolare, si determina lo spostamento in corrispondenza del carico critico, che risulta essere 0.65mm verso il basso. Quindi non applichiamo una forza, ma uno spostamento, leggendo la forza come reazione vincolare. Si imposta una boundary condition di spostamento imposto in z di -0.65182mm, modulata nel tempo con legge radice cubica (per aiutare la convergenza di N-R). In questo modo invece di avere una crescita lineare, procediamo molto velocemente quando la struttura è poco caricata per poi calare la velocità di applicazione del carico man mano che ci sia avvicina al punto critico. Per come è stata modulata la tabella di applicazione dello spostamento, al tempo 1 abbiamo lo spostamento che mi porta ad instabilità la struttura. Oltre il tempo 1 si supera lo spostamento che provoca carico critico del 10% nel tempo (+3-4% il carico).

Si fa un analisi non lineare di tipo strutturale, definendo un loadcase di tipo statico a nome nonlin. Le proprietà del loadcase sono quelle di avere come carichi applicati i vincoli e lo spostamento imposto, di durare 1.1 secondi (quindi di andare del 10% oltre nel tempo dopo aver raggiunto l'instabilità), e di farlo in 110 steps equispaziati nel tempo (ma non nel carico). Per ottenere un'analisi in cui si ha il fenomeno di instabilità occorre chiedere al solutore di lavorare in non-linearità geometrica, ossia non lavorare nell'ipotesi di piccoli spostamenti e piccole rotazioni (ad esempio non si approssima il sin(theta) con theta). Per fare questo:

 properties -> structural analysis option-> advanced analysis option -> large rotation 

In questo modo il Marc utilizza l'algoritmo di non-linearità geometrica, che permette di vedere l'evoluzione della struttura con instabilità inclusa. In alternativa, poiché in realtà per metalli si hanno grandi spostamenti e non grandi deformazioni, è equivalente selezionare:

 structural analysis option -> large strain 

Con questa opzione vengono attivate tutte le non-linearità possibili (geometriche, di materiale, ecc).

A questo punto si lancia il calcolo.

Si vede a fine calcolo che lo spostamento è quello corrispondente al primo carico critico (come modo). Andiamo ad analizzare la curva carico-spostamento del nodo al vertice della piramide. Per far questo procediamo come segue:

history plot -> set locations -> (selezioniamo il nodo da cui prendere i dati) -> end list
                              -> all incs
                              -> add curves -> all locations -> Displacement Z (asse X)
                                                                Reaction Force Z (asse Y)


Diagramma1.PNG


Il punto (0,0) si trova in alto a destra nel diagramma, in quanto sia gli spostamenti che le reazioni vincolari assumono valori negativi. Per facilitarne la comprensione, possiamo ruotare di 180° il diagramma, ottenendo una curva carico-spostamento più familiare. Si osserva che lo spostamento del nodo dove è applicato il carico in Z, cresce linearmente con il carico. La deviazione dal comportamento lineare si osserva avvicinandosi sempre più al carico critico assumendo un valore di carico praticamente costante. Dunque la struttura evolve prima linearmente, poi perde pendenza fino a diventare orizzontale raggiungendo la condizione di matrice tangente singolare nell'intorno del carico critico. C'è una zona di lieve raccordo che dipende dall'ampiezza della perturbazione introdotta, maggiore è la perturbazione più è dolce il passaggio dal comportamento lineare al plateau. Con grosse perturbazioni il modello è sollecitato sempre più anche a sforzi di flessione, deviando dal comportamento lineare molto prima.

Per avvicinarsi sempre più al carico di snervamento con il carico critico, è possibile utilizzare varie soluzioni che cerchino di impedire i moti instabili. Una prima soluzione è impiegare una pannellatura, un'altra è quella di inserire dei tiranti per fermare le deformazioni a metà lato delle colonne.


Struttura con tiranti

Cavi1.jpg

Consideriamo la versione con i tiranti, denominata "senzapiastre_tiranti.mfd". I tiranti sono in alluminio a sezione circolare con diametro di 2mm. Con questa soluzione aggiungiamo pochissimo peso alla struttura. Lanciando i calcoli e facendo un'analisi di instabilità, si nota come il carico critico ottenuto sia più basso di quello che avevamo prima. In realtà però i primi modi ottenuti non sono legati alla struttura principale, ma coinvolgono solo i tiranti a sezione ridotta introdotti.

Cavi2.jpg

Soltanto a 24000N si iniziano a creare lievi variazioni nella geometria principale (Primo modo di sofferenza strutturale), mentre sotto questo valore la struttura principale sembra ferma. Questo modo di procedere (guardando se un modo di instabilità coinvolge o meno la struttura principale) non ha una corrispondenza reale nei risultati. La soluzione migliore per investigare ulteriormente questa struttura è quella di effettuare un'analisi non lineare con controllo di spostamento per poi andare a guardare la curva carico-spostamento. Ci aspettiamo di andare oltre il carico critico che avevamo nella struttura senza tiranti, quindi testiamo la struttura applicando uno spostamento doppio a quello che manda in instabilità la struttura senza tiranti. Arriviamo quindi fino ad un 200% del vecchio carico critico. Inoltre non conoscendo a priori il valore del nuovo carico critico, viene applicato uno spostamento imposto che cresce linearmente (mentre precedentemente rallentavamo in prossimità del carico critico). Lanciando l'analisi non lineare il solutore si blocca al tempo 1.37 ed in seguito si blocca dando errore 2004. Siamo quindi arrivati ad un 37% in più rispetto al vecchio carico critico di 8463N.

Come fatto precedentemente andiamo ad inserire in un grafico la curva carico-spostamento relativa al nodo di applicazione del carico:

history plot -> set locations -> (selezioniamo il nodo da cui prendere i dati) -> end list
                              -> all incs
                              -> add curves -> all locations -> Displacement Z (asse X)
                                                                Reaction Force Z (asse Y)

Il grafico avrà in ascissa gli spostamenti in Z, e in ordinata le reazioni vincolari in Z.

Si vede, confrontando con il caso senza tiranti e puntoni, quanto viene bloccata la degenerazione instabile, il grafico ha comportamento lineare fino ad un carico di circa 12000N, ottenendo un incremento di circa il 40%. Da notare come la rigidezza della struttura non venga sostanzialmente alterata dall'introduzione dei tiranti (le due curve hanno la stessa pendenza).

Struttura pannellata

Pannelli1.jpg

Consideriamo la versione della struttura denominata "senzapiastre_pannelli.mfd". Pannellare la struttura è un'alternativa (meno efficiente) all'introduzione dei tiranti. La pannellatura viene effettuata con un lamiera molto sottile (ad esempio con una lamiera in alluminio spessa 0.8mm). In questo modo aggiungiamo però molto peso alla struttura.

Con le pannellature è ancora più visibile l'effetto su analisi di instabilità. Si ottiene un primo carico critico a 3500N circa, molto più basso del carico critico con struttura non rinforzata. Bisogna però considerare che sono solo i pannelli ad andare in instabilità e non la struttura portante (in analogia al caso dei tiranti).

Pannelli2.jpg

Facendo invece un analisi non lineare con controllo di spostamento la struttura non cede a parte il cedimento delle pannellature. Anche in questo caso possiamo inserire in un grafico la curva carico-spostamento relativa al nodo di applicazione del carico ponendo in ascissa gli spostamenti in Z, e in ordinata le reazioni vincolari in Z.


Grafico2.PNG


La pannellatura aggiunge molta massa alla struttura aumentandone però anche la rigidezza. Nell'history plot è visibile come si arrivi ad un carico di circa 66.9 kN senza ancora rilevare l'instabilità. Dunque la pannellatura ci permette, a fronte di un notevole aumento di massa, una stabilizzazione molto evidente della struttura con plateau spostato molto in alto, a carichi molto maggiori.